Найти интеграл dx/(3sinx+4cosx) (замена t=tg(x/2),sinx=(2t)/(1+t^2),dx=(2dt)/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2))

117

281

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

imhopro

Математика

4,5(39 оценок)

* * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * *

Найти ∫ dx / (3sinx+4cosx)

ответ: ( Ln | C(2tg(x/2)+1 ) /( tg(x/2) - 2 ) | ) / 5

Пошаговое объяснение:

sinx = 2t /(1+t²)

cosx = (1 - t²)/(1+t²)

dx = (2dt) / (1+t²).

∫ (2dt) /(1+t²) / ( 6t / (1+t²) +4(1-t²) / (1+t²) ) =

= ∫ (dt) / ( 3t +2(1-t²) ) = - ∫ (dt) / ( 2t² - 3t -2 ) = - ∫ (dt) / ( t-2)(2t +1 )=

(1/5) *∫( 2/(2t+1) - 1/(t - 2) ) dt =(1/5)*[ ∫( (2dt) / (2t +1) - ∫(dt ) /( t-2) ] =

(1/5)* ( Ln|2t+1| - Ln|t-2| +Ln|C| )= (1/5)*Ln |C(2t+1) / (t-2) | =

( Ln | C(2tg(x/2)+1 ) /( tg(x/2) - 2 ) | ) / 5 .

Универсальная замена : t = tg(x/2) ⇒

dt =(1 / cos²(x/2) ) *(1/2) dx =( 1+tg²(x/2) )*(1/2)*dx dx = (2dt) / (1+t²)

sinx = 2sin(x/2)*cos(x/2) = 2sin(x/2)*cos(x/2) / ( sin²(x/2) + cos²(x/2) ) = 2tg(x/2) / ( 1+tg²(x/2 ) = 2t /(1+t²)

cosx = (cos²(x/2) -sin²(x/2) )/( cos²(x/2) +sin²(x/2) ) =(1-tg²(x/2) )/(1+tg²(x/2)) = (1 - t²)/(1+t²) .

Mrkronomax

Математика

4,6(42 оценок)

9.5х-(3.2х+1.8х)+3.75=6.9 9.5х-3.2х-1.8х=6.9-3.75 4.5х=3.15 х=3.15: 4.5 х=0.7

Задай свой вопрос

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.