Регистрация Спросить otvet5GPT
zaharsteam
16.03.2020 20:20
Алгебра
Есть ответ 👍

Докажите теорему о значениях синусов и косинусов
дополнительных углов.​

146
347
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

antonenko62
antonenko62
4,8(12 оценок)

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника.

Формулировка теоремы косинусов

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

Теорема косинусов

Изображение для пояснения сути теоремы косинусов - квадрат стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное их произведение на косинус угла между ними

Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними

Полезные формулы теоремы косинусов:

Полезные формулы теоремы косинусов - сама теорема, нахождение косинуса угла по трем сторонам и нахождение самого угла по трем сторонам треугольника

Как видно из указанного выше, с теоремы косинусов можно найти не только сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, можно, зная размеры всех сторон треугольника, определить косинусы всех углов, а также вычислить величину любого угла треугольника. Вычисление любого угла треугольника по его сторонам является следствием преобразования формулы теоремы косинусов.

Доказательство теоремы косинусов

Теорема Косинусов

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a)

Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.

Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что

AB = AD + BD

Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

AD / AC = cos α

откуда

AD = AC cos α

AD = b cos α

Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:

BD = AB - AD

BD = c − b cos α

Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

для треугольника BDC

CD2 + BD2 = BC2

для треугольника ADC

CD2 + AD2 = AC2

Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону - CD. Определим ее длину для каждого треугольника - вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное - в правую.

CD2 = BC2 - BD2

CD2 = AC2 - AD2

Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений:

BC2 - BD2 = AC2 - AD2

Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что:

AD = b cos α

BD = c − b cos α

AC = b (по условию)

А значение стороны BC обозначим как a.

BC = a

(Именно его нам и нужно найти)

Получим:

BC2 - BD2 = AC2 - AD2

Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений

a2 - ( c − b cos α )2 = b2 - ( b cos α )2

перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения - на правую

a2 = ( c − b cos α )2 + b2 - ( b cos α )2

раскроем скобки

a2 = b2 + c 2 - 2c b cos α + ( b cos α )2 - ( b cos α )2

получаем

a2 = b2 + c 2 - 2bc cos α

Теорема косинусов доказана.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

kamillikoryan
kamillikoryan
4,8(70 оценок)

ответ:

если что-то не так сделала напиши мне

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS