Сколько корней на промежутке (-2π; 3π)
имеет уравнение
3sin4х – 2cosx = 5?
Ответы на вопрос:
ответ:Рассмотрим тригонометрическое уравнение cos(8 * x) + sin(3 * π/2 – 2 * x) = 3 * sin(4 * π + 5 * x). По требованию задания, найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; π/2].
Прежде всего, используя формулу приведения sin(3 * π/2 – α) = –cosα и периодичность синус функции, данное уравнение перепишем в виде cos(8 * x) - cos (2 * x) = 3 * sin(5 * x).
К левой части полученного уравнения применим формулу cosα – cosβ = –2 * sin(½ * (α + β)) * sin(½ * (α – β)) (разность косинусов). Тогда, получим: –2 * sin(½ * (8 * х + 2 * х) * sin(½ * (8 * х – 2 * х)) = 3 * sin(5 * x) или 3 * sin(5 * x) – 2 * sin(5 * x) * sin(3 * x) = 0.
Выводя за скобки множитель sin(5 * x), последнее уравнение можно переписать в виде: sin(5 * x) * (3 – 2 * sin(3 * x)) = 0. Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Однако, согласно двойному неравенству -1 ≤ sinα ≤ 1, второй множитель не может равняться 0. Следовательно, имеем sin(5 * x) = 0. Это тригонометрическое уравнение имеет следующую серию решений: 5 * x = π * n (где n ∈ Z, Z – множество целых чисел), откуда x = (π/5) * n.
Теперь по требованию задания, найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; π/2]. С этой целью решим двойное неравенство 0 ≤ (π/5) * n ≤ π/2 относительно целого неизвестного n. Умножим все (левую, среднюю и правую) части последнего двойного уравнения на 5 / π. Тогда, получим: 0 ≤ n ≤ 2,5. Очевидно, это двойное неравенство имеет следующие целые решения: n = 0, n = 1 и n = 2. Найдём соответствующие этим значениям n, решения данного уравнения: х = 0; х = π/5 и х = 2 * π/5.
ответ: х = 0; х = π/5 и х = 2 * π/5.
Реши свою проблему, спроси otvet5GPT
-
Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос -
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах -
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно
Популярно: Математика
-
Aleksandra2006125.07.2022 12:41
-
Alice5u81123.06.2020 09:57
-
Dick66631.12.2021 11:12
-
Анастасия20181128.05.2023 19:07
-
ляляляляляляля106.02.2020 19:09
-
Ris123412.10.2021 13:29
-
zvarichevgenija20.12.2021 08:12
-
мда2821.08.2021 08:14
-
bossmakswell10.09.2020 05:53
-
Дмитрий11111111222210.02.2021 07:10
Есть вопросы?
-
Как otvet5GPT работает?
otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса. -
Сколько это стоит?
Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны. -
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?
Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое! -
В чем отличия от ChatGPT?
otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.