Плоскость a пересекает стороны ab и bc треугольника abc соответственно в точках m и n причём ac паралельна a и mn =6 см bm:ma=4:3.Найти АС

ak = ab sin  ß = b sin  β  bk = ab cos  β = b cos  β  sabk  = ak * bk / 2 = b2sin  β cos  β / 2 

откуда  sabс  =    2sabk  =     b2sin β cos β    (примем за искомую площадь основания, далее справочно к той же формуле, которая указана по ссылке выше) 

если воспользоваться  основными тригонометрическими тождествами, то  b2sin β cos β = 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin 2β     или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника)  1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin (180 - α)   =  1/2 b2sin α 

теперь  найдем площадь боковой поверхности пирамиды.  сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам  равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. при этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку о основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. откуда высота боковой грани пирамиды равна:   h = r / sin  φ 

длину  радиуса вписанной окружности  найдем как  r = s/p

учитывая, что bc = 2bk, то bc = 2b cos  β  откуда  p = ( b + b + 2b cos  β ) / 2  p = ( 2b + 2b cos  β ) / 2  p = 2b ( 1 + cos  β ) / 2  p = b ( 1 + cos  β )

таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен  r = s / p  r = b2sin β cos β / b ( 1 + cos  β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos  β )

теперь определим высоту боковых граней пирамиды. зная, что  l / r = cos φ, то  l = r cos φ

тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна:   s1 = lb / 2  s1 = r cos φ * b / 2  s1 = b sin β cos β / ( 1 + cos  β ) cos φ * b / 2  s1 = b2  sin β cos β / ( 1 + cos  β ) cos φ / 2  s1 = b2  sin β cos β  cos φ / ( 2 ( 1 + cos  β ) )

площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна:   s2 = bc * l / 2  s2 = 2b cos  β *  r cos φ / 2  s2 = b cos  β * r cos φ  s2 = b cos  β * b sin β cos β / ( 1 + cos  β ) * cos φ  s2 = b2  cos2  β sin β cos φ / ( 1 + cos  β ) 

площадь боковой поверхности пирамиды равна:   sбок = 2s1 + s2  sбок = 2 * b2  sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos  β ) cos φ ) + b2  cos2  β sin β cos φ / ( 1 + cos  β )  sбок = b2  sin β cos β cos φ / ( 1 + cos  β ) + b2  cos2  β sin β cos φ / ( 1 + cos  β )  sбок = ( b2  sin β cos β cos φ + b2  cos2  β sin β cos φ ) / ( 1 + cos  β )  sбок = b2  sin β cos β cos φ ( 1  + cos  β ) / ( 1 + cos  β )  sбок = b2  sin β cos β cos φ

откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит:   s = sбок + sосн  s = b2  sin β cos β cos φ + b2  cos2  β sin β cos φ / ( 1 + cos  β )