В равнобедренную трапецию вписана окружность r=2/√3. Угол между диагоналями при основании равен 2arctg(2/√3). Найти длину отрезка, соединяющего точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из ее боковых сторон

угол арв равен центральному углу дуги ав (соостветствующей хорде ав) в окружности, описанной вокруг трапеции. можно сослаться на теорему о угле между секущими, а можно и сделать вид, что её не занешь, и по ходу её джоказаьб - для этого надо через d провести прямую ii ас, и угол между ней и db будет измерять двумя дугами ав (дуга сd такая же). 

на самом деле уже доказано, что окружность, описанная вокруг авр пройдет через о (центр описанной окружности), поскольку из о и р отрезок ав виден под одинаковым углом. но мы опять сделаем вид ,что этого не понимаем, и продолжим доказывать :

если мы проведем перпендикуляр через середину ав, то он пройдет через о. и лучи оа и ов будут составлять между собой угол, равный арв. если же мы проведем окружность через а в и р, то она это препендикуляр пересечет в какой-то точке, из которой ав будет виден под таким же углом. в силу 5 постулата евклида (не больше, не меньше : такая точка может быть только все ! : если бы через заданную точку можно было бы провести две прямые под одинаковым углом, все бы пошла насмарку :