Доказать, что для каждого натурального числа s существует натуральное число n с суммой цифр s, делящееся на s.

рассмотрим последовательность k-эй член которой определяется так:

причем это число неотрицательно, и меньше s. проще говоря, это остаток от деления 10^n на s. ясно, что последовательность периодична и ее период не больше s. обозначим ее период t.

теперь рассмотрим число записанное последовательностью цифр

возьмем такое число , что , для и во всех остальных случаях. иными словами возьмем число которое стоит из s периодических блоков состоящих из нуля и одной единицы в конце.

тогда наше число будет состоять из s единиц и какого-то кол-ва нулей. в этом случае, сумма цифра числа s, как и требовалось. также

таким образом, оба требуемых условия оказались удовлетворены.

выше рассуждение не проходит, если s делится на какую-то степень 10, т. е. оканчивается n нулями. в этом случае построим число n для , только возьмем блоков , а не . после этого припишем к результату n нулей. ясно, что и в этом случае число построено верно.