Регистрация Спросить otvet5GPT
Maks2801
05.02.2021 03:07
Математика
Есть ответ 👍

Алексей вильнюсов наугад выбирает два натуральных числа p и q. найдите вероятность, что дробь p/q окажется несократимой.

234
302
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

1Gamzatik1
1Gamzatik1
4,5(53 оценок)

ответ:

\frac{\pi^2}{6}

пошаговое объяснение:

ясно, что дробь является сократимой, если у p и q есть общий простой делитель. вероятность того, что произвольное число делится на простое   число a есть очевидно \frac{1}{a}, а что не делится (1 - \frac{1}{a}). также ясно, что делимость на разные простые числа - события независимые. из вышесказанного следует, что вероятность того, что дробь не сокращается на простое число a есть (1-\frac{1}{a^2}). вероятность того, что она несократима вовсе (т. е. не делится ни на какое простое число) есть бесконечное произведение

p=(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{5^2})\dots

вспомним формулу суммы прогрессии:

1+q+q^2+\dots=\frac{1}{1-q}=(1-q)^{-1}

отсюда

1-q=(1+q+q^2+\dots)^{-1}

сделаем такое с каждой скобкой в нашем выражении для p:

p=(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\dots)^{-1}(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\dots)^{-1}(1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+\dots)^{-1}\dots

тогда

p^{-1}=(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\dots)(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\dots)(1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+\dots)\dots

легко увидеть, что это равно

p^{-1}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots

т. е. сумме ряда обратных квадратов. его значение можно легко получить например разложив f(x)=x^2 в ряд фурье и посмотрев значение в точке x=\pi. итак, сумма этого ряда есть

p^{-1}=\frac{\pi^2}{6}

откуда получаем ответ.

Дашка5милашка
Дашка5милашка
4,6(75 оценок)

вот они все, больше нет:

a⊥b

c⊥b

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS