Постройте график функции y=x^2+3x-3|x+2|+2
и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки

ответ:

во вложении - график функции.

синим цветом показана одна из линий при m=2.25. вторая линия совпадает с осью абсцисс (m=0).

исходная функция y={x}^{2}+3\,x-4\, \left| x+2 \right| +2y=x

2

+3x−4∣x+2∣+2 содержит функцию абсолютной величины, поэтому её надо рассматривать отдельно на участках, где выражение под знаком абсолютной величины отрицательно и положительно, т.е. на интервалах (-∞; -2] и [-2; +∞]

на первом интервале |x+2|≤0 и функция примет следующий вид:

y=x²+3x+4(x+2)+2 ⇒ y=x²+7x+10. график функции - квадратная парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при х² положительный). чтобы определить точки пересечения с осью абсцисс составим уравнение

x²+7x+10=0 ⇒ x1=-5; x2=-2 - это и будут точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

на втором интервале |x+2|≥0 и функция примет следующий вид:

y=x²+3x-4(x+2)+2 ⇒ y=x²-x-6. график функции - квадратная парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при х² положительный). чтобы определить точки пересечения с осью абсцисс составим уравнение

x²-x-6=0 ⇒ x3=-2; x4=3 - это и будут точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

корни х2 и х3 совпали, это значит, что всего имеется три точки пересечения графиков с осью обсцисс в точках х1=-5б х2=-2б х3=3. это и будет первая из искомых прямых, т.е. m1=0.

построив и рассмотрев график функции, можно определить, что вторая прямая, параллельная оси абсцисс и имеющая с графиком функции ровно три общие точки - это прямая, проходящая через минимум первой из рассмотренных функций (показана на графике синим цветом). для нахождения точки экстремума функции y=x²+7x+10 достаточно её производную приравнять нулю. y'=2x+7; 2x+7=0 ⇒ x=-3.5

подставляя найденное значение x в выражение функции получим y=(-3.5)²-7*3.5+10=

-2.25, т.е. m2=-2.25.