Anif

03.03.2020 18:17

Математика

Есть ответ 👍

1) sin^2x + sinx + a = 0 (параметр)
2) cos2x - sinx =a (параметр)
при всех значениях "а" развязать уравнение.
(2 разных примера если что)

245

483

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

gregsorvenkov

Математика

4,5(12 оценок)

$1) \ \sin^{2}x + \sin x + a = 0$

замена: $\sin x = t, \ -1 \leq t \leq 1$

$t^{2} + t + a = 0\\d = 1 - 4a$

данное уравнение будет иметь корни, если $d \geq 0$ , то есть $1 - 4a \geq 0; \ a \leq \dfrac{1}{4}$

$t_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a} }{2}$

имея два действительных корня, определим, при каких $a$ выполняется неравенство $-1 \leq t \leq 1$

$1.1) \ -1 \leq \dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2} \leq 1\\-2 \leq -1 + \sqrt{1 - 4a} \leq 2\\-1 \leq \sqrt{1 - 4a} \leq 3\\ 1 - 4a \leq 9\\ - 4a \leq 8\\ a \geq -2$

учитывая $a \leq \dfrac{1}{4}$ , имеем: $a \in \bigg[-2; \dfrac{1}{4} \bigg]$

$1.2) \ -1 \leq \dfrac{-1 - \sqrt{1 - 4a} }{2} \leq 1\\-2 \leq -1 - \sqrt{1 - 4a} \leq 2\\-1 \leq -\sqrt{1 - 4a} \leq 3\\ -3 \leq \sqrt{1 - 4a} \leq 1 \\ 1 - 4a \leq 1\\ - 4a \leq 0\\ a \geq 0$

учитывая $a \leq \dfrac{1}{4}$ , имеем: $a \in \bigg[0; \dfrac{1}{4} \bigg]$

обратная замена:

$\sin x = \dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2}\\x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \pi n, \ n \in z$

$\sin x = \dfrac{-1 - \sqrt{1 - 4a} }{2}\\x = (-1)^{k} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 - \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \pi k, \ k \in z$

ответ: если $a \in (-\infty; -2) \cup \bigg(\dfrac{1}{4}; +\infty \bigg)$ , то уравнение не имеет корней; если $a \in [-2; 0)$ , то $x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \pi n, \ n \in z$ ; если $a \in \bigg[0; \dfrac{1}{4} \bigg]$ , то $x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \pi n, x = (-1)^{k} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 - \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \\+ \pi k, \ n \in z, \ k \in z$

$2) \ \cos2x - \sin x = a\\1 - 2\sin^{2}x - \sin x = a\\2\sin^{2}x + \sin x + a - 1 = 0$

решаем аналогично:

замена: $\sin x = t, \ -1 \leq t \leq 1$

$2t^{2} + t + a - 1 = 0\\d = 1 - 8(a - 1) = 1 - 8a + 8 = 9 - 8a \geq 0; \ a \leq \dfrac{9}{8}$

$t_{1,2} = \dfrac{-1 \pm\sqrt{9 - 8a} }{4}$

$2.1) \ -1 \leq \dfrac{-1 + \sqrt{9 - 8a} }{4} \leq 1\\-4 \leq -1 +\sqrt{9 - 8a} \leq 4\\-3 \leq \sqrt{9 - 8a} \leq 5\\ 9 - 8a \leq 25\\ -8a \leq 16\\a \geq -2$

учитывая $a \leq \dfrac{9}{8}$ , имеем: $a \in \bigg[-2; \dfrac{9}{8} \bigg]$

$2.2) \ -1 \leq \dfrac{-1 - \sqrt{9 - 8a} }{4} \leq 1\\-4 \leq -1 -\sqrt{9 - 8a} \leq 4\\-3 \leq -\sqrt{9 - 8a} \leq 5 \\ -5 \leq \sqrt{9 - 8a} \leq 3 \\ 9 - 8a \leq 9\\ -8a \leq 0\\a \geq 0$

учитывая $a \leq \dfrac{9}{8}$ , имеем: $a \in \bigg[0; \dfrac{9}{8} \bigg]$

обратная замена:

$\sin x = \dfrac{-1 +\sqrt{9 - 8a} }{4}\\x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg( \dfrac{-1 +\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \pi n, \ n \in z$

$\sin x = \dfrac{-1 -\sqrt{9 - 8a} }{4}\\x = (-1)^{k} \cdot \arcsin \bigg( \dfrac{-1 -\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \pi k, \ k \in z$

ответ: если $a \in (-\infty; -2) \cup \bigg(\dfrac{9}{8}; +\infty \bigg)$ , то уравнение не имеет корней; если $a \in [-2; 0)$ , то $x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 +\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \pi n, \ n \in z$ ; если $a \in \bigg[0; \dfrac{9}{8} \bigg]$ , то $x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg( \dfrac{-1 +\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \pi n, \ x = (-1)^{k} \cdot \arcsin \bigg( \dfrac{-1 -\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \\+ \pi k, \ n \in z, \ k \in z$

Полина174111

Математика

4,4(73 оценок)

21 раз ахахахахахахаххаххх

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.