Объясните, , как строить график
?
какие точки брать, что и куда подставлять? и почему в результате на графике две линии?
​

чтобы построить график функции , дадим независимой переменной несколько конкретных значений и вычислим (по формуле) соответствующие значения зависимой переменной . результаты запишем в таблицу: одна таблица для , другая – для .

построим найденные точки , , , , , на координатной плоскости и соединим их, при этом получим правую ветвь графика (см. рис. 1).

правая ветвь графика

рис. 1. правая ветвь графика

построим найденные точки , , , на координатной плоскости и соединим их, при этом получим левую ветвь графика (см. рис. 2).

левая ветвь графика

рис. 2. левая ветвь графика

объединим эти две ветви (см. рис. 3). это и есть график функции , его называют гиперболой.

гипербола

рис. 3. график функции (гипербола)

видно, что график состоит из двух частей. эти части называют ветвями гиперболы.

исследование графика

1. для (правая ветвь):

- при стремящемся к плюс бесконечности, стремится к нулю:

, , следовательно, ось – это горизонтальная асимптота.

асимптота (от греческого asimptotos – «») – прямая, к которой бесконечная ветвь кривой приближается неограниченно.

- при стремящемся к нулю, стремится к плюс бесконечности:

, , следовательно, ось – это вертикальная асимптота.

для (левая ветвь):

- при стремящемся к минус бесконечности, стремится к нулю:

, , следовательно, ось – это горизонтальная асимптота.

- при стремящемся к нулю, стремится к минус бесконечности:

, , следовательно, ось – это вертикальная асимптота.

2. для (правая ветвь)

возьмём любые две точки и , получим отрезок и дугу . дуга находится под отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вниз при.

для (левая ветвь)

возьмём любые две точки и , получим отрезок и дугу . дуга находится над отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вверх при (см. рис. 4).

исследование функции

рис. 4. исследование функции

напоминание

осевая симметрия (симметрия относительно прямой)

точки и симметричны относительно прямой , если она служит срединным перпендикуляром к отрезку (см. рис. 5).

осевая симметрия

рис. 5. осевая симметрия

центральная симметрия (симметрия относительно точки)

точки и симметричны относительно точки , если отрезок равен отрезку (см. рис. 6).

центральная симметрия

рис. 6. центральная симметрия

3. построим прямую . если перегнуть график исследуемой функции через эту прямую, то ветви совместятся. например, точка совместится с точкой . следовательно, прямая является срединным перпендикуляром к отрезку . таким образом, прямая – это ось симметрии графика (см. рис. 7).

ось симметрии гиперболы

рис. 7. ось симметрии гиперболы

4. точка с координатами – центр симметрии графика .

свойства функции при

мы рассмотрели свойства функции , эти же свойства сохранятся для функции при любом (см. рис. 8).

1. область определения функции – это множество всех действительных чисел, кроме .

2. числа и одного знака, следовательно:

при

при

3. функция не ограничена ни снизу, ни сверху. это следует из того, что

4. при функция убывает и является выпуклой вверх; при функция убывает и является выпуклой вниз.

5. точка – центр симметрии гиперболы.

6. прямая ось симметрии гиперболы.

график функции

рис. 8. график функции при

доказательство осевой симметрии гиперболы

дан график функции .

1. пусть – это любое значение аргумента из области определения. тогда на ветви гиперболы имеем точку .

2. пусть – это любое значение аргумента из области определения. тогда на ветви гиперболы имеем точку .

необходимо доказать, что произвольно выбранная точка симметрична точке относительно прямой (см. рис. 9).

иллюстрация к доказательству

рис. 9. иллюстрация к доказательству

доказательство

1. отметим на оси абсцисс точку , а на оси ординат – точку (см. рис. 10).

2. рассмотрим прямоугольные треугольники и . эти треугольники равны по двум катетам (; ). из равенства этих треугольников следует:

а) ;

б) ;

в) (так как прямая является биссектрисой координатного угла, а )

3. рассмотрим треугольник : он равнобедренный, прямая лежит на биссектрисе этого треугольника. известно, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, исходящая из угла, образованного равными сторонами, является также и высотой, и медианой. следовательно, прямая является срединным перпендикуляром к отрезку ; произвольно выбранная точка симметрична точке относительно прямой .

так как точки были выбраны произвольно, то и вся кривая симметрична относительно оси .

рис. 10. иллюстрация к доказательству

свойства функции при

при ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных углах (см. рис. 11).

1. область определения функции – это множество всех действительных чисел, кроме .

2. числа и разного знака, следовательно:

при

при

3. функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

4. при функция возрастает и является выпуклой вниз; при функция возрастает и является выпуклой вверх.

5. точка – центр симметрии гиперболы.

6. прямая ось симметрии гиперболы.

график функции

рис. 11. график функции при