Сметода индукции , покажите ,что при любом натуральном n n^3-n кратно 6; n^3+11n кратно 6

ответ:

первая подробнее, но вторая абсолютно такая же

пошаговое объяснение:

1) вообще-то и без индукции легко доказать

выражение эквивалентно : м(n)=n*(n-1)(n+1), т.е. равно произведению трех последовательных натуральных чисел. одно из них обязательно кратно 3 и по крайней мере одно четное, значит произведение кратно 6. но раз требуется по индукции, сделаем так :   для n=1 утверждение верно м(1)=0. пусть оно верно для n. покажем, что оно верно для n+1.

м(n+1)=(n+2)*(n+1)*n=м(n)*(n+2)/(n-1)=м(n)+м(n)*(3/(n-1))=м(n)+(n+1)*n*3

но (n+1)*n -четное. 3*(n+1)*n делится на 6, а м(n) кратно 6 по предположению индукции. что и доказывает утверждение.

2. n^3+11*n=(n^3-n)+12n.   то , что (n^3-n) -n   кратно 6 мы уже доказали (по индукци и напрямую). а теперь к выражению прибавили 12n, которые точно кратны 6. так что утверждение доказано.