Найти все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.
, решите

ответ: a ∈ (-∞; 0)∪{81}

пошаговое объяснение: одз: x ≥ 0

с учетом одз уравнение всегда имеет как минимум один корень - решение уравнения √x - 9 = 0 ⇔ √х = 9 ⇒ x = 81.

однако при некоторых значениях а уравнение может иметь и другой корень - решение уравнения х - а = 0 ⇒ х = а. это возможно в том случае, если этот корень удовлетворяет одз, т.е. есть х ≥ 0 ⇒ a ≥ 0. но может случиться так, что корни совпадут (и в первой скобке, и во второй корнем будет х = 81), и в итоге у нас все так же будет одно решение.

поэтому уравнение может иметь единственное решение только в двух случаях:

1) уравнения х - а = 0 и √x - 9 = 0 имеют одинаковое решение - х = 81. этому случаю соответствует значение а = 81.

2) если уравнение х - а = 0 имеет решения, которые не удовлетворяют одз, т.е. такие, при которых x выходит < 0 (в этом случае уравнение не будет иметь смысла из за того, что под корнем будет отрицательное число). этому случаю соответсвуют все значения а < 0.

итого: a ∈ (-∞; 0)∪{81}.