2. даны координаты вершин четырехугольника abcd: а (–6; 1), в (0; 5), с (6; –4), d (0; –8). докажите, что abcd – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

1) по формуле "расстояние между 2-мя точками" найдем длины сторон ав и сд:

iавi=sqrt((0+6)^2+(5-1)^2)=sqrt(36+16)=sqrt(52)=2*sqrt(13);

icdi=sqrt((6-0)^2+(-4+8)^2)=sqrt(36+16)=sqrt(52)=2*sqrt(13);

2) аналогично: ibci=sqrt((0-6)^2+(5+4)^2)=sqrt(36+81)=sqrt(117)=3*sqrt(13);

                                            iadi=-0)^2+(1+8)^2)=sqrt(36+81)=sqrt(117)=3*sqrt(13);

3) так как противоположные стороны 4-хугольника равны, то это параллелограмм.

4) iaci=sqrt((6+6)^2+(-4-1)^2)=sqrt(144+25)=sqrt(169)=13;

      ibdi=sqrt((0-0)^2+(5+8)^2)=sqrt(169)=13;

5) параллелограмм с равными диагоналями - параллелограмм;

6) пусть точка пересечения диагоналей - точка о(х; у) - середина диагонали ас. по формулам координат середины отрезка о((6-6)/2; (-4+1)/2), т.е. о(0; -1,5).

точки a, c, d, e лежат на одной прямой.

т.к. bd расстояние от т. b до прямой ac, то точка d лежит на прямой ac . кратчайшее расстояние от т. b до прямой - это перпендикуляр из т. b на прямую ac . т.е. прямые ac и bd перпендикулярны друг другу. прямая ed аналогично пепендикулярна
прямой bd ,т.е. она параллельна ac. т.к. т. d принадлежит ac, то значит и точка e принадлежит ac. мы получили, что точки e, d лежат на прямой ac.