Средняя линия треугольника! прикреплены в фото! !

1-ый признак  равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (теорема 3.1.  –  признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны)

доказательство:

пусть у треугольников авс и а1в1с1  угол а равен углу а1, ав равно а1в1,  ас равно а1с1, докажем, что треугольники равны.

пусть а1в2с2  – треугольник, равный авс, с вершины в2  на луче а1в1  и вершины с2  в той же полуплоскости относительно прямой а1в1, где лежит вершина с1.

так как а1в1  равно а1в2, то вершина в2  совпадет с в1.  так как угол в1а1с1  равен углу в2а1с2,  то луч а1с2  совпадет с а1с1. так как а1с1  равен а1с2, то с2  совпадет с с1.  значит треугольник  а1в1с1  совпадает стреугольниом  а1в2с2, значит равен треугльнику авс.

теорема доказана.

2-ой  признак  равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (теорема 3.2. -  признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам - если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)

доказательство:

пусть  авс и а1в1с1 –  два треугольника, у которых ав равно а1в1,  угол а равен углу а1, и угол в равен углу в1. докажем, что они равны.

пусть а1в2с2  – треугольник, равный авс, с вершины в2  на луче а1в1  и вершины с2  в той же полуплоскости относительно прямой а1в1, где лежит вершина с1.

так как а1в2  равно а1в1, то вершина в2  совпадет с в1.  так как угол в1а1с2  равен углу в1а1с1,  и угол а1в1с2 равен углу а1в1с1, то луч а1с2  совпадет с а1с1, а в1с2  совпадет с в1с1. отсюда следует, что вершина с2  совпадет с с1.  значит треугольник  а1в1с1  совпадает стреугольниом  а1в2с2, значит равен треугльнику авс.

теорема доказана.

3-ий  признак  равенства треугольников: по трем сторонам ( теорема 3.6. -  признак равенства треугольников по трем сторонам - если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)

доказательство:

пусть  авс и а1в1с1 –  два треугольника, у которых ав равно а1в1,  ас равно а1с1, и вс равно в1с1. докажем, что они равны.

допустим, треугольники не равны. тогда у них угол а не равен углу а1, угол в не равен углу в1,  и угол с не равен углу с1. иначе они были бы равны, по перовому признаку.

пусть а1в1с2  – треугольник, равный треугольнику авс, у которого свершина с2  лежит в одной полуплоскости с вершиной с1  относительно прямой а1в1.

пусть d – середина отрезка с1с2. треугольники а1с1с2  и в1с1с2  – равнобедренные с общим основанием с1с2. поэтому их медианы а1d и в1d – являются высотами, значит прямые а1d и в1d – перпендикулярны прямой с1с2.  прямые а1d и в1d не , так как точки а1,  в1, d не лежат на одной прямой, но через точку d прямой с1с2  можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. мы пришли к противоречию.