Найдите координаты вектора ab по координатам его начала и конца a(1; -12; 1) b(9; 3; 3)

a(1 ; - 12 ; 1)         b(9 ; 3 ; 3)

ab(9 - 1 ; 3 - (- 12) ; 3 - 1)

ab(8 ; 15 ; 2)

ответ:

определение 3.2. проекцией (или координатой) вектора ab на ось ol называется число, равное: а) длине компоненты a1 b1 на ось ol , если направление ком- поненты совпадает с направлением оси ol ; б) длине компоненты a1 b1 , взятой со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси ol . пусть векторы i, j, k — единичные векторы координатных осей ox, oy, oz соответственно, то есть i , j , k = 1 и направление каждого из них совпадает с положительным направлением соот- ветствующей оси. обозначим через a x , a y , a z координаты a (про- екции вектора a на оси ox, oy, oz соответственно). тогда a = ax i + a y j + az k; (3.1) a = a x + a y + a z2 2 2 . (3.2) направление вектора a определяется углами α , β , γ , которые он образует с осями ox, oy, oz , соответственно. косинусы этих уг- лов называются направляющими косинусами вектора a . они оп- ределяются по формулам ax ay a cos α = , cos β = , cos γ = z . (3.3) a a a если a x , a y , a z — координаты вектора a (то есть проекции на координатные оси ox, oy, oz ), то пишут: a {a x ; a y ; a z }. отметим некоторые свойства координат векторов. 1. каждая координата суммы двух и большего числа векто- ров равна сумме соответствующих координат слагаемых векто- ров, то есть если a {a x ; a y ; a z }, b {bx ; b y ; bz }, то a+b имеет координаты {a x + bx ; a y + b y ; a z + bz }. 2. каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, то есть, если a {a x , a y , a z }, b {bx , b y , bz }, то вектор a − b имеет координаты {a x − bx ; a y − b y ; a z − bz }. 3. каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это чис- 71 ло, то есть, если a {a x ; a y ; a z }, то вектор ka имеет координаты {ka ; ka x y ; ka z }. 4. вычисление координат вектора по координатам его начала и конца: если начало вектора в точке m 1 (x1 ; y1 ; z1 ), а конец в точке m 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ), то вектор m 1 m 2 имеет координаты {x2 − x1 ; y 2 − y1 ; z 2 − z1 }, (3.4) то есть, чтобы найти координаты некоторого вектора, следует из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. пример 3.3. даны две точки a(3; 1; − 1), b(5; 2; − 3). найти коорди- наты вектора ab , его длину ab и направляющие косинусы. решение. используя формулу (3.4), получаем ab{5 − 3; 2 − 1; − 3 − (−1)}, то есть ab{ 2; 1; − 2}. по формуле (3.2) получаем ab = 2 + 1 + (−2) = 9 = 3. 2 2 2 по формуле (3.3) имеем: 2 1 2 cos α = , cos β = , cos γ = − . 3 3 3 2 1 2 ответ: ab{ 2; 1; − 2}, ab = 3, cos α = , cos β = , cos γ = − . 3 3 3 пример 3.4. даны два вектора a = 3i + 5 j − 2k и b{− 4; 5; 1}. найти длину и направляющие косинусы вектора c = a − 3b. решение. по условию и в силу формулы (3.1) имеем: a{3; 5; − 2} и b{− 4; 5; 1}. тогда по свойствам проекций координаты вектора c равны: c x = a x − 3bx = 3 − 3(− 4) = 15, c y = a y − 3b y = 5 − 3 ⋅ 5 = −10, c z = a z − 3bz = −2 − 3 ⋅ 1 = 5. следовательно, по формулам (3.2) и (3.3) c = 15 2 + (− 10) + (− 5) = 5 9 + 4 + 1 = 5 14 ; 2 2 15 3 − 10 2 −5 1 cos α = = ; cos β = =− ; cos γ = =− . 5 14 14 5 14 14 5 14 14 ответ: c = 5 14 ; cos α = 3 ; cos β = − 2 ; cos γ = − 1 . 14 14 14 72 пример 3.5. даны вершины треугольника a(2; 1; − 3), b(5, 0; − 4), c (7; 4; − 2 ). найти длину медианы am . 1 решение. am = ab + bc. используя формулу (3.4), получаем: 2 b m ab{3; − 1; − 1}, bc {2; 4; 2}, a c am {4; 1; 0}. рис. 3.8 по формуле (3.2) вычисляем am = 4 2 + 12 + 0 2 = 17 . ответ: 17 . для самостоятельной работы 1. дана призма abca1 b1c1 . найти сумму векторов: а) ba + aa1 + a1c ; б) cc1 + c1 a + aa1 ; в) aa1 + a1 b1 + b1 b + bc. ответ: а) bc ; б) ca1 ; в) ac. 2. найдите периметр треугольника, образованного векторами ab, bc , ca, если a(0; 1; − 3), b (2; 5; − 7 ), c (− 2; 1; − 3). ответ: 4(2 + 3 ). 3. даны два вектора a{5; 2; − 1}, b{3; 0; 1}. найти длину и направ- ляющие косинусы вектора: а) 2b − a ; б) 2a − b ; в) b − a. 1 2 3 7 4 3 ответ: а) 14 , ,− , ; б) 74 , , ,− ; 14 14 14 74 74 74 1 1 1 в) 2 3, − ,− , . 3 3 3 § 3. нелинейные операции над векторами 1. скалярное произведение двух векторов определение 3.3. скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов и ко- синуса угла между ними. (за угол между векторами принимают 73 угол между содержащими их прямыми, величина которого при- надлежит промежутку [0, π ] ). скалярное произведение векторов a и b обозначается через a b или a ⋅ b. таким образом, по определению.

ответ:45 см

Периметр=2а+б=87

сторона-х

основание-х+24

Составим уравнение

2х+х+24=87

3х=63

х=21

Объяснение:

Сторона равна 21 см

Основание равно 21+24=45 см