Исследовать функцию и построить её график y=x³/x-1
(найти область определения d(f), выяснить чётность или не чётность переодической, найти точки пересечения с осями координат, найти асимптомы графика функций, найти промежутоки монотоности и экстремумы, найти промежутки выпуклости и точки перегиба, и построить график)

пошаговое объяснение:

дано: y = x³/(x-1)

исследование

1. область определения: d(х)= r\{1} =   (-∞; 1)∪(1; +∞).  

не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2.поведение в точке разрыва. limy(1-)= -∞, limy(1+)= +∞. вертикальная асимптота - х = 1. неустранимый разрыв ii-го рода.  

3. поведение на бесконечности - наклонная асимптота.    

k = lim(+∞)y(х)/x = х³/(x²+ x) = ∞ - коэффициент наклона.

наклонной асимптоты   нет.  

4. нули функции, пересечение с осью ох. y(x) = 0.  

5. пересечение с осью оу. y(0) = 0  

6. интервалы знакопостоянства.    

отрицательна: y(x)< 0 - x∈(0; 1).

положительна: y> 0 - x∈(-∞; 0)∪(1; +∞)  

7. проверка на чётность.  

функция со сдвигом от осей симметрии   - функция общего вида.

ни нечётная: y(-x) ≠ -y(x) ни чётная:   y(-x) ≠ y(x)

8. поиск экстремумов по первой производной.      

  корни квадратного уравнения. х1 = 0   и х2= 3/2.  

9. локальные экстремумы.  

минимум: y(3/2) = 6.75 , максимум: y(0) = 0

10. интервалы монотонности.    

возрастает: x∈(1.5; +∞)  

убывает: х∈(-∞; 1)∪(1; 1.5)

11. поиск перегибов по второй производной.    

y''(x) = 2*x*(x²-3*x+3)/(x-1)² = 0

x = 0   и точка разрыва при х = 1.      

12. выпуклая - 'горка' -  x∈(0; 1).

вогнутая - 'ложка'- x∈(-∞; 0)∪(1; +∞; ).  

13. область значений. e(y) - y∈(-∞; +∞).    

рисунок с графиком функции в приложении.