Решить систему:


​

1) ищете производную;   2) если f'(x)  ≥ 0, функция не убывает данном промежутке, если f'(x)  ≤ 0, то не возрастает. эти промежутки и есть интервалы монотонности.  вот и все. рассмотрим ваш пример:   f(x) = 3x² - 18x + 1.  f'(x) = 6x - 18.  6x - 18  ≥ 0, т.е. x  ≥ 3 - функция не убывает.  x  ≤ 3 - функция не возрастает.  (можно также говорить возрастает/убывает, но тогда надо концы интервалов не включаются: например, здесь если x > 3, то функция возрастает. т.к. на самих концах функция не возрастает/не убывает, эти точки или включаются в оба промежутка, или нет, в зависимости от того, как вы говорите: не убывает/не возрастает или возрастает/убывает).  ответ: функция не убывает: x  ≥ 3, не возрастает: x  ≤ 3.  в данном случае с параболой можно было сделать проще. график этой параболы легко представить: это парабола ветвями вверх (a = 3 > 0), значит, до вершины функция убывает, после - возрастает. ищем вершину: x₀ =  и ответ получаем точно такой же. это объясняется тем, что, ища производную, мы нашли минимум функции (нулями производной может быть как минимум, так и максимум, надо смотреть на возрастание/убывание), который для параболы ветвями вверх и есть ее вершина. таким образом, вы можете смотреть по графику возрастание/убывание или искать с производной (это универсальнее).  надеюсь, что . : ) если что, задавайте вопросы в комментарии.