Является ли число2011^2013+2012^2014 простым

нет, не является.

число 2011 оканчивается на 1, поэтому при возведении 2011 в любую степень результат будет оканчиваться на 1, в том числе и 2011^2013.

число 2012 оканчивается на 2, квадрат этого числа будет оканчиваться на 4, куб - на 8, четвёртая степень - на 6, пятая степень - снова на 2, шестая - на 4, седьмая - на 8, восьмая - на 6 и т. д., т.е. через 4 числа цифра повторяется. так как 2014=503*4+2, то число 2012^2014 оканчивается такой же цифрой, что и 2012^2, то есть 4.

первый результат оканчивается на 1, второй - на 4.

1+4=5

значит, полученная сумма будет делиться на 5, следовательно, не будет являться простым числом.

нет, не является. докажем, что получившееся число чётное.

перепишем исходное выражение в виде

2011^2013 + ((2011+1)^2013)*2012 и разложим скобку по биному ньютона.

(2011+1)^2013 = ckn*2011^(n*k)*1^k

вынесем из этой суммы первый и последний члены; оставшиеся члены в сумме составляют 2012 слагаемых, в каждое из которых входит 2011 в какой-то степени.обозначу устаток за а.

итак, исходное выражение в итоге равно:

2011^2013+2012*(2011^2013+a+1)=

2011^2013(1+2012) + 2012*a+ 2012

2011^2013 * (1+2012) чётное

а представляет собой сумму вида с1*2011^2010+ c2*2011^2009+ + c2012*2011

т.е. чётных и нечётных слагаемых поровну, следовательно, а чётное.

2012*а чётное

2012 чётное, их сумма тоже чётное число.

чтд