Ученикам 10 класса.

докажите, что когда диагонали четырёхугольника пересекаются, то его вершины лежат в одной плоскости.

желательно письменно на листочке,

ответ:

согласно известному мне определению, четырехугольник - это частный случай многоугольника, который по определению всегда весь лежит в одной плоскости. однако можно догадаться, что речь идет просто о 4 точках с проведенными отрезками, тогда все решается в одно действие.

  пусть отрезки ac и bd пересекаются в точке о. тогда, по соответствующей теореме, через пересекающиеся прямые ac и bd проходит какая-то плоскость. прямые ac и bd целиком лежат в этой плоскости, значит, и лежащие на них точки лежат в ней: a, c, b, d. таким образом, существует плоскость, проходящая через все вершины четырехугольника.

объяснение:

вроде так

есть теорема о том, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна. то есть если взять за эти две пересекающиеся прямые диагонали, то будет выглядеть так:

Треугольник АВС - тупоугольный, поэтому высоты из вершин его острых углов будут вне его. 

Продолжения высот АМ и СN пересекутся также вне его в некоторой точке О. 

В четырехугольнике МОNB угол  MBN вертикальный углу АВС и равен ему. угол МВN=168°.

Сумма углов четырехугольника равна 360°. Углы М=N=90º, поэтому  угол МОN=180°-168°=12°. Это ответ.

Наверное вот так ...