Дан треугольник abc и h — точка пересечения высот этого треугольника.
пусть d — середина отрезка bc , e — середина отрезка ас . кроме того, медианы треугольника aed также пересекаются в точке h .
найдите градусную меру угла ∠abc.

ответ: 45 градусов.

объяснение:

прежде, чем решить - немного теории.

см. верхний рисунок.

пусть abc - остроугольный треугольник, h - точка пересечения высот, o - центр описанной окружности.

bb1 - диаметр. так как b1a перп. ab и ch перп. ab, то ch ii ab1; точно также ah ii cb1; то есть фигура ahcb1 - параллелограмм.

=> am = mc; и b1m = mh; другими словами, точка b1 симметрична точке h относительно середины стороны ac.

точка h1 - пересечение описанной окружности и продолжения высоты bn; b1h1 перпендикулярно bh   => b1h1 ii ac => mn - средняя линия тр-ка hb1h1; => hn = nh1; другими словами, точка h1 симметрична точке h относительно стороны ac;

чтобы уж совсем оценить, что доказано, я повторю это словами. если h - точка пересечения высот остроугольного треугольника, то точки, симметричные h относительно сторон треугольника и середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности.

теперь - решение.

см. нижний рисунок.

все обозначения прозрачны, поэтому - сразу к сути.

так как h - точка пересечения медиан треугольника aed, то fh/ah = 1/2; из подобия тр-ков ahn и fph ph/hm = fh/ha = 1/2; (больше я такие вещи не объясняю, это было сделано для примера).

так как ed - средняя линия abc; ed ii ab; то cp = pn; легко видеть, что, если ph = x (это просто обозначение), то hn = 2x; cp = 3x; => ch = 4x; => ch/hn = 2/1; ну, и cn = 6x;

=> hn = nc/3;

если провести через точку h прямую kg ii ed (и ii ab), то ag/gd = ah/hf = 2/1;

=> точка g - точка пересечения медиан тр-ка abc (ad - медиана abc).

поэтому медиана cm пройдет через точку g, а заодно - и через точку f, потому что среднюю линию она тоже поделит пополам.

дальше все просто - из того, что ef = fd следует kh = hg; а это, в свою очередь, дает an = nm; то есть an = nb/3;

теперь надо вспомнить теорию. если описать окружность вокруг abc, то h1n = nh = nc/3;

для двух хорд   ch1 и ab

an*nb = h1n*nc; => nc*nc/3 = nb*nb/3; => nc = nb;

треугольник cnb - прямоугольный равнобедренный.

84 ответ. Счетаю:S=7*12=84

Объяснение:

0твет:S=84.