Стороны bc и ac треугольника abc касаются соответствующих снаружи вписанных кругов в точках a1, b1. пусть a2, b2 - ортоцентр треугольников caa1 и cbb1. правильно ли утверждение, что прямая a2b2 перпендикулярна биссектрисе угла c? ​

опустим из b и a1 высоты на ac соответственно в точки b3 и b4 , аналогично построим точки a3 и a4 ( заметим, что ab1=ba1=p-c , где p — полупериметр треугольника abc . таким образом, a3a4=b3b4=(p-c) cosγ . отрезки a3a4 и b3b4 являются проекциями отрезка a2b2 на прямые ac и bc , но эти отрезки равны, поэтому отрезок a2b2 с ними составляет равные углы. значит, он либо перпендикулярен биссектрисе угла   c , либо параллелен ей. обозначим ортоцентр треугольника abc за h . заметим, что так как b1 лежит на отрезке ac , то a4 лежит на отрезке a3c , а значит b2 лежит на луче hb3 . аналогично a2 лежит на луче ha3 . значит, биссектриса угла a3hb3 пересекает отрезок a2b2 . но эта биссектриса параллельна биссектрисе угла acb (так как в четырёхугольнике ha3cb3 углы a3 и b3 — прямые). таким образом, получаем, что a2b2 не параллелен биссектрисе угла c , значит, он ей перпендикулярен, что и требовалось доказать.