Регистрация Спросить otvet5GPT
770glym
04.04.2023 15:02
Алгебра
Есть ответ 👍

Cos20pi/9 заменить самым маленьким тригонометрическим функцием

281
382
Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

artem28
artem28
4,5(54 оценок)

(см. объяснение)

Объяснение:

\mathrm{ctg}\,x-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=9\mathrm{tg}\,x

Выполним "хитрое" преобразование:

\left(\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x\right)-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x

Я не с проста выделил скобками разность тангенса и котангенса.

Давайте разберемся в чем здесь секрет:

\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=2\cdot\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=2\mathrm{ctg}\,2x

О чудо! Уравнение приняло вид:

\left(2\mathrm{ctg}\,2x-2\mathrm{tg}\,2x\right)-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x

Думаю теперь не возникает вопросов, что делать.

Ведь теперь алгоритм решения стал прозрачным:

\left(4\mathrm{ctg}\,4x-4\mathrm{tg}\,4x\right)=8\mathrm{tg}\,x

И снова "сжимаем" уравнение:

\mathrm{ctg}\,8x=\mathrm{tg}\,x

Теперь осталось решить то, что записано выше:

\mathrm{ctg}\,8x=\mathrm{tg}\,xdfrac{\cos 8x}{\sin 8x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\

\left\{\begin{array}{c}\cos 8x\cos x-\sin 8x\sin x=0\\\sin 8x\cos x\ne 0\end{array}\right;left\{\begin{array}{c}\cos 9x=0\\\sin 8x\ne0\\\cos x\ne 0\end{array}\right;

Тогда:

\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}x\ne\dfrac{k\pi}{8},\;k\in\mathbb{Z}x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;

И эту систему можно записать покороче:

\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;

Уравнение решено!

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS