Острый угол равнобедренной трапеции равен 60°. доказать, что основание вс = ad — ab.
доказательство. опустим из вершин трапеции высоты bm  и cn  на нижнее основание ad.
получим два прямоугольных треугольника abm  и dcn, а также прямоугольник bcnm.
поскольку в прямоугольных треугольниках один угол равен 60°, то второй, согласно следствию из теоремы о сумме внутренних углов треугольника, равен 30°.
а мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. т.е. ам= с/2.
то же самое и в правом треугольнике — nd = с/2.
получается, что нижнее основание можно представить в виде суммы трёх отрезков, а именно am, mn, nd, где am=nd=c/2.
mn=bc, или верхнему основанию.
отсюда можно написать mn=bc=ad — am — nd = ad — c/2 — c/2 = ad — ab.
мы доказали, что верхнее основание равно разности нижнего основания и боковой стороны.

1) место точек, равноудаленных от точек а и в - это серединный перпендикуляр к прямой ав. вектор ав{xb-xa; yb-ya; zb-za} ={1; 4-1}. середина вектора ав - точка р((1+0)/2; (2-2)/2; (0-1)/2) или р(0,5; 0; -0,5) теперь надо найти точку м(0; 0; z), чтобы вектор мр был перпендикулярен вектору ав. вектор мр{0,5-0; 0-0; ,5)} = {0,5; 0; z+0,5}. векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. скалярное произведение векторов ab{1; 4; -1} и mp{0,5; 0; z+0,5}: (ab*mp) = xab*xco+yab*yco+zab*zco =1*0,5+4*0+(-1)*(z+0,5). условие: 0-z=0 => z=0. ответ: z=0. 2) векторы со и ав будут равными, если они сонаправлены и равны по модулю. сонаправленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности положителен. вектор ав{1-0; ); -1-0} = {1; 4; -1},   вектор co{0-x; 0-y; 0-0} = {-x; -y; 0}. |ab|=√(1²+4²+(-1)²)=√18. |co|=√)²+(-y)²+0²). если модули равны, то и квадраты модулей равны. x²+y² = 18. -x/1=-y/4  y=4x. x²+16x²=18  x²=18/17. x≈1,03 y²=18-18/17 =288/17 ≈17. y≈4,16. co={1,03; 4,16; 0} 3) векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. скалярное произведение векторов ва{-1; -4; 1} и m{xm; 1; 2}: (ва*m)= 1*xm+4*ym+zab*zm  или (ba*m)= (-1)*xco-4*1+1*2=0.  => xm= -2. ответ: xm= -2.