((sin2x)/y + x)dx + (y - (sinx)^2/(y^2))dy =0

решить уравнения в полных дифференциалах

234

272

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Федёк5

Математика

4,7(97 оценок)

$\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)dx+\left(y-\dfrac{\sin^2x}{y^2}\right)dy=0\\ \\ \underbrace{\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)}_{m(x,y)}dx+\underbrace{\left(y-\dfrac{1-\cos 2x}{2y^2}\right)}_{n(x; y)}dy=0$

уравнение $m(x,y)dx+n(x,y)dy=0$ является в полных дифференциалах, поскольку выполняется равенство $m'_y(x; y)=n'_x(x; y)=-\dfrac{\sin 2x}{y^2}$

если функция $f(x,y)$ удовлетворяет $f'_x(x; y)=m(x,y)$ и $f'_y(x,y)=n(x,y)$ , то $f(x,y)=c$ - решение уравнения

интегрируем функции f по переменной х

$f(x,y)=\displaystyle \int m(x,y)dx=\int\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+c(y)$

далее дифференцируем по у

$f'_y(x,y)=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+c(y)\right)'_y=\dfrac{\cos 2x}{2y^2}+c'(y)$

действительно, $f'_y(x,y)=n(x,y)=y-\dfrac{1-\cos 2x}{2y^2}$ . отсюда $c'(y)=y-\dfrac{1}{2y^2}~~~\rightarrow~~~ c(y)=\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2y}$

общий интеграл

$\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2y}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+\dfrac{x^2}{2}=c$

СаняDots

Математика

4,5(32 оценок)

8: 1000=8промилле=0,8%(процентов)

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.