Нужно исследовать функцию и построить график y=1/x^2

1)область определения функции. точки разрыва функции.

2) четность или нечетность функции.

y(-x) = y(x), четная функция

3) периодичность функции.

4) точки пересечения кривой с осями координат.

пересечение с осью 0y

нет пересечений.

пересечение с осью 0x

y=0

нет пересечений.

5) исследование на экстремум.

y = 1/x^2

найдем точки разрыва функции.

x1 = 0

поскольку f(-x)=f(x), то функция является четной.

1. находим интервалы возрастания и убывания. первая производная.

или

находим нули функции. для этого приравниваем производную к нулю

1 ≠ 0

для данного уравнения корней нет.

(-∞ ; 0) (0; +∞)

f'(x) > 0 f'(x) < 0

функция возрастает функция убывает

2. найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. вторая производная.

или

находим корни уравнения. для этого полученную функцию приравняем к нулю.

для данного уравнения корней нет.

(-∞ ; 0) (0; +∞)

f''(x) > 0 f''(x) > 0

функция вогнута функция вогнута

6) асимптоты кривой.

уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. по определению асимптоты:

находим коэффициент k:

находим коэффициент b:

получаем уравнение горизонтальной асимптоты:

y = 0

найдем вертикальные асимптоты. для этого определим точки разрыва:

x1 = 0

находим переделы в точке x=0

x1 = 0 - точка разрыва ii рода и является вертикальной асимптотой.

решение было получено и оформлено с сервиса:

исследование функции

вместе с этой решают также:

уравнение касательной

пределы онлайн

производная онлайн

интервалы возрастания и убывания функции

асимптоты графика функции

в решении

анализ

дано: y = 1/x².

исследование:

1. область определения.

не допустимо деление на ноль.

x≠0.    

2.   пересечение с осью у   -   нет.

вертикальная асимптота - х=0.

3.   проверка на четность.

y(-x) = y(x) - функция четная

4. поиск экстремумов по первой производной.

y'(x) = -2/x³ =0

5. возрастает y(x) ∈(-∞; 0), убывает - y(x0∈(0; +∞)

6. точки перегиба по второй производной.

y"(x) = 6/x⁴7. вогнута - y(x)∈(-∞; 0)u(0; +∞)

7. наклонная асимптота.

b = lim 1/x² - 0*x = 0

график - элементарный -в приложении.