Почему при приближенных вычислениях погрешность может накапливаться​

ответ: 1.4. погрешности приближенных вычислений

тема 1. введение. приближенные числа и действия над ними. оценка точности вычислений

1.4. погрешности приближенных вычислений

понятие о погрешности приближения

естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. причем, в различают относительную и абсолютную погрешность.

определение

абсолютной погрешностью (или, просто, погрешностью) приближенного числа называют разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее) .

пример

при округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. а при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.

определение

относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому (точному) числу.

пример

при округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0,01523 или приближенно 3/200 ≈ 1,5%.

в большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит и точную величину погрешности. однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

например, продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. в наборе гирь наименьшая – 50 г. взвешивание дало 3600 г. это число – приближенное. точный вес арбуза неизвестен. но абсолютная погрешность не превышает 50 г. относительная погрешность не превышает 50/3600 ≈ 1,4%.

определение

число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей) , называется предельной абсолютной погрешностью.

определение

число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей) называется предельной относительной погрешностью.

предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой δ – "дельта". а предельная относительная погрешность – греческой буквой δ ("дельта малая"). если приближенное число обозначить буквой α, то δ = δ/ α.

в примере с арбузом за предельную абсолютную погрешность можно взять δ = 50г, а за предельную относительную – δ = 1,4%.

погрешность действий над приближенными числами

предельная абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

пример 1

пусть даны точные числа и их приближенные значения: 2,463 ≈ 2,46 и 3,208 ≈ 3,21.

их абсолютные погрешности приближений соответственно равны: 2,463-2,46 = 0,003 и 3,21-3,208 = 0,002.

рассмотрим сумму приближенных чисел – 2,46+3,21 = 5,67.

предельная погрешность суммы равна 0,003+0,002 = 0,005.

если проверить, то получится, что точная сумма будет 2,463+3,208 = 5,671.

следовательно, точно вычисленная погрешность приближения будет: 5,671-5,67 = 0,001. действительно 0,001 ≤ 0,005.

предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

пример 2

пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя равна 0,4%, а второго 0,5%. тогда предельная относительная погрешность произведения 50*20 = 1000 приближенно равна 0,9%.

предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

таким образом, легко заметить, что при приближенных вычислениях погрешность может накапливаться!

пошаговое объяснение: