числа 412 и 181 имеют одинаковое произведение цифр, равное 8. сколько ещё трёхзначных чисел таким же свойством?

ответ:

36177

пошаговое объяснение:

1) числа, состоящие из цифр без 0 в записи числа, цифры первого различны, цифры второго с цифрами первого, отличаются (или нет) в порядке в котором расположены

таких пар чисел получится 9*7*8*3*2*1=3024

(9*7*8 - столькими способами можно построить первое число, с различными цифрами от 1 до 9, на первое место 9 претендентов, на второе 8, на третье 7, второе число из цифр первого можно составить 6 способами, на первое место одну из 3х цифр, на второе одну из 2, на третье 1,

пример число 431 на первое и на второе 431,413, 341,314, 134,143)

2) числа состоящие из цифр без 0 в записи числа, две цифры первого одинаковы, цифры второго с цифрами первого, отличаются (или нет) в порядке в котором расположены

(9*8*3=216, цифру которая не повторяется выбрали 9 способами, цифру которая повторяется 8 или наоборот, второе число 3 варианту на которое поставить цифру которая не повторяется, остальные по умолчанию,

пример 311, второе число 311, 131, 113)

3) числа состоящие из цифр первого без 0 в записи числа, три цифры первого одинаковы, цифры второго с цифрами первого, всего таких 9 чисел

111, 222, , 999 - первое и второе число

теперь если цифры первого не повторяют полностью первого и без 0 в записи

---

4) числа, состоящие из цифр без 0 в записи числа. третья цифра произведение двух других.

( три единицы 3 случай, не рассматриваем),

(-1) одна цифра является произведением двух других

(0) 2=1*2=2*1 - не подходит, учтено в случае 2

(0) 3=1*3=3*1 - не подходит, учтено в случае 2

(1) 4=1*4=2*2 - две цифры заданы для каждого числа, третья одинакова, но следует учесть порядок

ненулевую цифру отличную от 1,2,4 можно выбрать 6 способами,

сначала выбираем первое оно может содержать 1 и 4 (или 4 и 1), или 2 и 2 и третью цифру

в случае 1 и 4 имеем что первое число можно выбрать 6*2*1=12 способов, второе тогда содержит 2 и 2 , и его можно выбрать лишь размещением не 2, всего 3 способа

итого 12*3=36 способов

и соответственно 36 способов наоборот в случае для первого с 2 и 2

теперь если третья цифра 4 (или 1) - первое число можно выбрать 3 способами (расставить уникальную цифру), второе 3 способами - расставить уникальную цифру, всего 2*3*3=18 способов

если третья цифра 2 - первое число можно выбрать 6 способами - расставить в произвольном порядке три разные цифры, второе 1 - все три цифры одинаковые, всего 6 способов

суммируя этот случай 36+36+18+6=96 способов

(0) 5=5*1=1*5 - не подходит, учтено в случае 2

(2) 6=1*6=2*3 - две цифры заданы для каждого числа, третья одинакова, но следует учесть порядок

если цифра отличается от 1,6,2,3 третью цифру можно выбрать 5 способами, и задать порядок для первого числа 3*2*1=6, для второго 3*2*1=6 способами

всего 6*5*5=150 способами

если третья цифра или 1 или 6 или 2 или 3, получим три способа - для одного числа и 6 для второго, всего 3*6=18 способов

суммируя 150+18=168 способов

(0) 7=1*7=7*1 - не подходит, учтено в случае 2

(2) 8 =1*8=2*4 - по аналогии с 6=1*6=2*4 получаем 168 способов

(1) 9=1*9=3*3 - по аналогии с 4=1*4=2*2 получаем 96 способов

итого 96+168+168+96=528 способов

5) числа, произведение цифр, которых равно, но одна из них не является произведением двух других (для этого цифры должны попарно иметь взаимные делители отличные от 1, претенденты либо четные различные числа вообще либо 4 и 8, либо 3 и 6, либо 6 и 9 либо 3 и 9)

2 и 4 не подходит - так как 2*4=2*2*2

2 и 6 - тогда две цифры второго 3 и 4, получаем 5*6*6 =180 способов - (5 способов выбрать третью общую цифру отличную от 2,3,4,6 , 6 способов для порядка цифр первого числа, 6 способов для второго, остальные случаи рассмотрены раннее)

2 и 8 , 2*8=4*4 , выбрать третью цифру 6 способов, порядок первого 6, третьего 3, всего 6*6*3= 108 способов

4 и 8 - не подходит - нельзя переложить в произведение других цифр

точно так же 3 и 6, и 3 и 9, и 6 и 9

6) случай если вторая или третья цифра в записи 0, тогда имеем

9*1*10+9*10*1=180 способов выбрать первое число (первую ненулевую 9 способов, на второе или третье 0, третью цифру любую из 10 )

и 9*2*10=180 способов выбрать второе (9 вариантов выбрать первую, 0 на вторую или третью позицию и 10 вариантов выбрать последнюю цифру, всего 180*180=32 400

итого всего возможных пар трехзначных чисел получается 3024+216+9+96+168+168+96+108+32400=36 177