Основания abc и a1b1c1 призмы abca1b1c1— равносторонние треугольники. отрезок, соединяющий центр o основания abc с серединой ребра a1b1, перпендикулярен основаниям призмы. 
найдите угол между прямой bc и плоскостью abc1, если высота призмы равна стороне основания.

ответ:

∠cbd = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠cbd ≈ 34,6°.

объяснение:

высота призмы - отрезок он1 по условию (так как он перпендикулярен основаниям). =>

ав=вс=ас=он1.

основания призмы - правильные треугольники. следовательно, центр основания авс - точка о лежит на пересечении высот(медиан, биссектрис) этого треугольника.

проведем высоту сн основания и опустим перпендикуляр с1р на плоскость, содержащую основание авс. точка р принадлежит продолжению прямой нс, так как рн - проекция с1н на плоскость, содержащую основание авс.

прямоугольные треугольники он1н и рс1с равны по катету с1р=н1о и гипотенузе с1с = н1н.

=> pc = oh = (1/3)*сн (так как сн - медиана и делится в отношении 2: 1, считая от вершины).

сн = (√3/2)*а, где а - сторона треугольника. пусть сторона основания равна 1. тогда

сн = √3/2, а рн = рс+сн = (1/3)*(√3/2)+√3/2 = 2√3/3.

в прямоугольном треугольнике рс1н по пифагору

с1н = √(с1р²+рн²) = √(1+12/9) = √21/3.

прямоугольные треугольники ∆сdн ~ ∆c1ph по острому углу с1нр.

из подобия: сd/c1p = ch/c1h   =>   cd = ch*c1p/c1h   =>

cd = (√3/2)*1/(√21/3) = 3√7/14.

sin(∠cbd) = cd/cb = 3√7/14.

∠cbd = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠cbd ≈ 34,6°.

Обозначим c- вершина конуса со высота,ав-- диаметр основания , о-центр окружности основания. рассмотрим δаос (угол о=90) и по теореме пифагора найдём радиус основания : ао²=ас²-ос² ао²=13²-12² ао²=169-144=25 ао=√25=5 r=5 s=πr²          s=5²π=25π ответ : 25πсм²