21.09.2020 04:21

Есть ответ 👍

Вравнобокую трапецию вписан круг радиуса r. боковая сторона трапеции составляет с меньшим основанием угол а. найдите радиус круга, описанного возле трапеции.

143

235

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

вася784

Математика

4,7(11 оценок)

1. чтобы найти радиус описанной около трапеции окружности, заметим, что эта окружность описана ещё и около треугольника abc, из теоремы синусов $$\frac{ac}{sin\alpha}=2r$

надо найти ac.

это можно сделать через теорему косинусов в треугольнике abc.

но для этого надо знать ab=a (боковая сторона трапеции) и bc=b (меньшее основание)

нам же известен угол и радиус вписанной окружности.

известный факт, что в трапецию если можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна. $a+a=b+c$ (c- большее основание).

$2a=b+c;$

$$a=\sqrt{h^2+(\frac{c-b}{2}^2 )} ; b+c=2\sqrt{h^2+(\frac{c-b}{2}^2 )}; h=\sqrt{(\frac{c+b}{2} )^2-(\frac{c-b}{2} )^2} ;$

$$h=\frac{1}{2} \sqrt{(c+b)^2-(c-b)^2}; h=\sqrt{bc}$

$$r=\frac{h}{2} =\frac{\sqrt{bc} }{2}$

$bc=4r^2$

далее из треугольника chd ∠cdh=180-α;

$sin(180-\alpha)=sin\alpha$

$$sin\alpha=\frac{h}{a}= \frac{2r}{a} \rightarrow a=\frac{2r}{sin\alpha}$

далее имеем систему с неизвестными b и c:

$$\left \{ {{b+c=2a=\frac{4r}{sin\alpha } } \atop {bc=4r^2}} \right.;$

из 2-го уравнения имеем $$c=\frac{4r^2}{b}$

подставляем в 1-е и получаем:

$$b+\frac{4r^2}{b}=\frac{4r}{sin\alpha } ; b> 0 \rightarrow b^2-\frac{4r}{sin\alpha } b+4r^2=0$

это квадратное уравнение относительно b:

$$d_1=\frac{4r^2}{sin^2\alpha } -4r^2=4r^2(\frac{1}{sin^2\alpha }-1)=4r^2(\frac{1-sin^2\alpha }{sin^2\alpha } ) =4r^2\frac{cos^2\alpha }{sin^2\alpha }$

все величины положительны, поэтому модули {a^2}=|a|)[/tex] раскрываются с "+".

$$b=\frac{2r}{sin\alpha } \pm\frac{2rcos\alpha }{sin\alpha } =\frac{2r}{sin\alpha } (1\pm cos\alpha )$

не понятно пока, оставлять ли оба значения или брать одно, попробуем вычислить с:

$$c=\frac{4r}{sin\alpha } -b=\frac{4r}{sin\alpha}-\frac{2r}{sin\alpha } (1\pm cos\alpha )=\frac{2r}{sin\alpha } (2-1\mp cos\alpha )$

$$c=\frac{2r}{sin\alpha } (1\mp cos\alpha )$

надо учесть, что b

чтобы с было больше b, $c$ с "+", $b$ с "-".

$$b=\frac{2r}{sin\alpha } (1-cos\alpha )$

но нам $c$ толком и не надо. только $b$

теперь запишем теорему косинусов (ac=d):

$d^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\alpha;$

$$d^2=(\frac{2r}{sin\alpha } )^2 +(\frac{2r}{sin\alpha } )^2(1-cos\alpha )^2=(\frac{2r}{sin\alpha } )^2(1+(1-cos\alpha )^2)$

$$d=\frac{2r}{sin\alpha } \sqrt{1+(1-cos\alpha)^2 }$

вспоминаем $$\frac{ac}{sin\alpha } =2r; r=\frac{d}{2sin\alpha }$

$$r=\frac{r}{sin^2\alpha } \sqrt{1+(1-cos\alpha)^2 }$

дальше я не вижу смысла преобразовывать тригонометрию, там вроде ничего путного не выходит.

ответ: $$\boxed{r=\frac{r}{sin^2\alpha } \sqrt{1+(1-cos\alpha)^2 }}$

natalinatark

Математика

4,8(25 оценок)

Они её загрязняют и вырубают леса

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.