Алгебра: Доказать, что при a 0 (a³+ b^6) / 2 ≥ 3ab² - 4

даша3646

09.02.2020 02:32

Алгебра

Есть ответ 👍

Доказать, что при a> 0

(a³+ b^6) / 2 ≥ 3ab² - 4

193

406

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

gimazova99

Алгебра

4,4(98 оценок)

$$ \frac{a^3+b^6}{2}\geq 3ab^2-4;$

вспоминаем неравенство коши

$$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

применяем:

$$\frac{a^3+b^6}{2}\geq \sqrt{a^3b^6}=|ab|^3\sqrt{a}=a|b|^3\sqrt{a}, (a> 0)$

покажем, что правое выражение здесь не меньше правого выражения в исходном неравенстве, тогда правое выражение в исходном неравенстве тем более будет не меньше, чем левое в исходном.

это как если надо доказать, что a> b, мы доказали, что при a> c выполняется c> b, то точно a> b (транзитивность неравенств).

делаем это:

$a|b|^3\sqrt{a}\geq 3ab^2-4; a|b|^3\sqrt{a}-3ab^2+4\geq 0; ab^2(|b|\sqrt{a}-3)+4\geq 0$

это неравенство аналогично неравенству $t^2(t-3)+4\geq 0; t=|b|\sqrt{a}, t> 0$

чтобы решить это неравенство, надо найти нули функции

$f(t)=t^3-3t^2+4;$ , здесь сумма коэффициентов при нечетных степенях (1) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях (-3+4=1), значит, t=-1 - корень. поделив уголком на t+1 или по схеме горнера, получим разложение $t^3-3t^2+4=(t+1)(t^2-4t+4)=(t+1)(t-2)^2$

теперь можно решать неравенство, при этом по методу интервалов, так как при t везде коэффициент равен 1, в самом правом промежутке будет "+", а в остальных случаях при переходе через нули будет чередоваться, кроме нулей четности, как здесь t=2 (2-я степень при скобке), знаки будут - + +

тогда $(t-1)(t-2)^2\geq 0 \rightarrow t \in[-1; 2]\cup[2; +\infty) \rightarrow t \in [-1; +\infty)$

но мы рассматриваем только t> 0, а там везде неравенство выполняется, значит, выполняется и неравенство $ab^2(|b|\sqrt{a}-3)+4\geq 0$ , то есть $$\left \{ {{a|b|^3\sqrt{a}=\sqrt{a^3b^6}\geq 3ab^2-4} \atop {\frac{a^3+b^6}{2}\geq \sqrt{a^3b^6} }} \right. \rightarrow \frac{a^3+b^6}{2} \geq 3ab^2-4$

что и требовалось доказать (естественно, неравенство справедливо по условию с ограничением a> 0)

МНН1

Алгебра

4,5(99 оценок)

Перед нами отрезок гиперболы, центр симметрии которой - (0; 0). рассмотрим значения у при х=-4 и -0,5: у=-3/4=-0,75 у=-3/0,5=-6 ответ: а, -3/4

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.