Найти длину дуги кривой, заданной в полярной системе
координат уравнением p=1-cosφ, -π/3≤ φ≤-π/6

213

389

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Violetta711

Математика

4,5(16 оценок)

длина дуги кривой в полярной системе координат:

$l=\displaystyle \int\limits^{\phi_1}_{\phi_2}{\sqrt{(\rho ')^2+\rho^2}} \, d\phi$

$\displaystyle l=\int\limits^{-\frac{\pi}{6}}_{-\frac{\pi}{3}}\sqrt{\sin^2\phi+(1-\cos \phi)^2}d\phi=\int\limits^{-\frac{\pi}{6}}_{-\frac{\pi}{3}}\sqrt{\sin^2\phi+1-2\cos\phi+\cos^2\phi}d\phi=\\ \\ \\ =\int\limits^{-\frac{\pi}{6}}_{-\frac{\pi}{3}}\sqrt{\sin^2\phi+1-2\cos\phi+1-\sin^2\phi}\, d\phi=\int\limits^{-\frac{\pi}{6}}_{-\frac{\pi}{3}}\sqrt{2-2\cos\phi}\, d\phi=\\ \\ /tex]</p><p></p><p>[tex]\displaystyle=\int\limits^{-\frac{\pi}{6}}_{-\frac{\pi}{3}}\sqrt{2(1-\cos \phi)}\, d\phi=\int\limits^{-\frac{\pi}{6}}_{-\frac{\pi}{3}}\sqrt{4\sin^2\frac{\phi}{2}}\, d\phi=2\int\limits^{-\frac{\pi}{6}}_{-\frac{\pi}{3}}\bigg|\sin\frac{\phi}{2}\bigg|~ d\phi=\\ \\ =-2\cdot 2 \left(-\cos\frac{\phi}{2}\right)\bigg|^{-\frac{\pi}{6}}_{-\frac{\pi}{3}}=4\cos\frac{\pi}{12}-4\cos\frac{\pi}{6}=4\cos\dfrac{\pi}{12}-4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\\ \\ \\ =4\cos\dfrac{\pi}{12}-2\sqrt{3}~~\boxed{=}$

распишем cos п/12:

$\cos \dfrac{\pi}{12}=\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\\ \\ \\ =\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

окончательно получим ответ

$\boxed{=}~ 4\cdot \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-2\sqrt{3}=\sqrt{6}+\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

VasG12

Математика

4,4(58 оценок)

1000 месяцев это - 83 года и 4 месяца . думаю что если начать считать с июня то выйдет осень

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.