Сформулируйте теорему косинусов для треугольника

ответ: теорема косинусов.

квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

teorema kosinusov

дано:

∆ abc.

доказать:

\[b{c^2} = a{b^2} + a{c^2} - 2 \cdot ab \cdot ac \cdot \cos \angle a\]

доказательство:

teorema kosinusov treugolnika

i. если треугольник abc — остроугольный.

1) опустим перпендикуляр cd на сторону ab.

2) рассмотрим прямоугольный треугольник adc.

по теореме пифагора,

\[c{d^2} = a{c^2} - a{d^2}

по определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

\[ad = ac \cdot \cos \angle

следовательно,

\[c{d^2} = a{c^2} - {(ac \cdot \cos \angle a)^2}

3) рассмотрим прямоугольный треугольник bdc.

\[bd = ab - ad = ab - ac \cdot \cos \angle

по теореме пифагора

\[b{c^2} = b{d^2} + c{d^2}\]

\[b{c^2} = {(ab - ac \cdot \cos \angle a)^2} + \]

₽

конференция frontendconf 2019

18+

\[ + a{c^2} - {(ac \cdot \cos \angle a)^2}\]

\[b{c^2} = a{b^2} - 2 \cdot ab \cdot ac \cdot \cos \angle a + \]

\[ + {(ac \cdot \cos \angle a)^2} + a{c^2} - {(ac\cdot\cos \angle a)^2}\]

откуда

\[b{c^2} = a{b^2} + a{c^2} - 2 \cdot ab \cdot ac \cdot \cos \angle

teorema kosinusov dlya treugolnika

ii. если треугольник abc — тупоугольный.

1) опускаем перпендикуляр cd на прямую, содержащую сторону ab.

2) рассмотрим прямоугольный треугольник adc.

по теореме пифагора,

\[c{d^2} = a{c^2} - a{d^2}\]

по определению косинуса,

\[ad = ac \cdot \cos \angle cad\]

так как углы a и cad — смежные, то ∠cad=180º-∠a. по формуле

({180^o} - \angle a) = - \cos \angle

\[c{d^2} = a{c^2} - {( - ac\cos \angle a)^2}\]

\[c{d^2} = a{c^2} - {(ac\cos \angle a)^2}

3) рассмотрим прямоугольный треугольник bdc.

\[bd = ab + ad = ab + ( - ac \cdot \cos \angle a) = \]

\[bd = ab - ac \cdot \cos \angle

дальнейшая часть доказательства полностью повторяет рассуждения пункта i.

iii. если треугольник abc — прямоугольный, где ∠a=90º, получаем теорему пифагора (cos90º=0).

ответ в прикреплённом изображении.

..............................................