Сумма первых пяти членов прогрессии равна 15 , а сумма первых четырёх членов этой прогрессии равна 6, найти разность данной прогрессии ?

6 = a+a+d+a+2d+a+3d = 4a+6d

15= a+a+d+a+2d+a+3d+a+4d = 5a + 10d

a+2d=3

2a+3d = 3

2a+4d=6

d = 3

a=-3

разность равна 3. первый член прогрессии равен -3

ответ: разность равна 3.

решение:

запишем по-другому члены арифметической прогрессии (а с индексом - это член арифметической прогрессии, а d - разность):

а₁ = а₁,

а₂ = а₁ + d,

а₃ = a₁ + 2d,

a₄ = a₁ + 3d,

a₅ = a₁ + 4d.

при этом мы знаем, что:

a₁ + + а₅ = 15

а₁ + (а₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d) = 15

5a₁ + 10d = 15.

точно также:

4a₁ + 6d = 6.

составим систему уравнений, предварительно сократив каждое из них:

a₁ + 2d = 3

2a₁ + 3d = 3

подставляем значение а₁ во второе уравнение и решаем его:

2(3 - 2d) + 3d = 3

6 - 4d + 3d = 3

6 - d = 3

d = 3.

отсюда а₁ = -3.

проверяем:

-3 + 0 + 3 + 6 = 6

-3 + 0 + 3 + 6 + 9 = 15.

решена!

Координаты векторов а1а2 ( 6-3; 1-6; 4-1; )= ( 3; -5; 3)                                       а1а3 ( 0; -12; 9)                                       а1а4 (4; -1; 3; ) s(a1a2a3)= (l a1a2l*l a1a3l*sinα)/2 , где  α- угол между векторами а1а2 и а1а3, модуль вектора а =√(х²+y²+z²) , т е l a1a2l=  √(9+25+9)=  √(43), la1a3l=√(144+81)=√(225)=15 ,  если  α -угол между векторами а и в ,то cosα=(x1x2+y1y2+z1z2)/(lal*lbl), cosα= (0+60+27)/(15√(43)=87/(15√(43)=29/(5√(43), sinα =  √(1-cos²α)=√(1-29²/(25*43))=√((25*43-29²)/(25*43))=  √((1075-841)/(25*43)=  √((234)/(25*43) =(√(2*3*39))/5√(43), s(a1a2a3)=(la1a2l*la1a3l*sinα)/2= (15*√(43)*√(2*3*39))/(2*5√(43))= (3*√(2*3*39))/2 = 9√(6,5), v(a1a2a3a4)=+-(1/6)*( определитель из строк ( 3; -5; 3); (0; -12; 9 ); ( 4; -1; 3 ))= +-(1/6)(9*(-12)-  5*9*4+0+ 12² +9*3 -0)= +-(9/6)( -12-20+16+3) = +-(3/2)*(-13)=39/2 , v(a1a2a3a4)=(1/3)*s(a1a2a3)*h, h=(3*v(пир)/s(осн)= (3*39/2)/((9√(6,5))= √(6,5),   ответ: s(a1a2a3)=9√(6,5)                                                  v(a1a2a3a4)= 39/2                 h=√(6,5)