astakhovavictoria

20.10.2022 16:52

Алгебра

Есть ответ 👍

Докажите, что при a> 0 имеет место неравенство (x+3)(x+6)(x+2)(x+1)> 96x^2

214

472

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Аннасherry

Алгебра

4,7(7 оценок)

необходимо доказать, что:

(x+3)*(x+6)*(x+2)*(x+1)> 96*x^2

при условии: x> 0

умножим первую скобку на третью, а вторую на четвёртую:

(x^2+5x+6)*(x^2+7x+6)> 96*x^2

поделим обе части неравенства на x^2 , причём каждую из полученных скобок поделим почленно на x. поскольку x^2> 0 , то неравенство не меняет знак.

имеем:

(x+ 5+ 6/x)*(x + 7 +6/x)> 96

сделаем замену : x+6+6/x=t

(t-1)*(t+1)> 96

t^2-1> 96

t^2> 97

необходимо доказать , что t^2> 97

поскольку x> 0 , то можно применить неравенство о среднем арифметическом и среднем :

x+ 6/x > = 2*sqrt(x *6/x)=2*sqrt(6)

откуда:

t= x+6 +6/x> = 6+2sqrt(6)

t^2> =(6+ 2sqrt(6) )^2=36+24+24*sqrt(6)

=60+24*sqrt(6)> 60+24*sqrt(4)=

=60+48=108> 97

таким образом мы показали что:

t^2> 97, а значит мы доказали , что неравенство:

(x+3)*(x+6)*(x+2)*(x+1)> 96*x^2 выполняется при любом x.

что и требовалось доказать.

polyakovred

Алгебра

4,8(1 оценок)

самое оптимальное решение. воспользуемся неравенством коши: $a+b\geq 2\sqrt{ab},~ a,b\geq 0$

в нашем случае, x > 0, значит

$x+3> 2\sqrt{3x}\\ x+6> 2\sqrt{6x}\\ x+2> 2\sqrt{2x}\\ x+1> 2\sqrt{x}$

умножив все четыре неравенства, мы получим

$(x+3)(x+6)(x+2)(x+1)> 2\sqrt{3x}\cdot 2\sqrt{6x}\cdot2\sqrt{2x}\cdot 2\sqrt{x}=96x^2$

ЛенаКошка

Алгебра

4,4(61 оценок)

Arccos(-√2/2)-arcsin(-√2/2)=3/4π/4π)=3/4π+π/4=π

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.