Докажите, что при a> 0 имеет место неравенство (x+3)(x+6)(x+2)(x+1)> 96x^2

необходимо доказать, что:

(x+3)*(x+6)*(x+2)*(x+1)> 96*x^2

при условии: x> 0

умножим первую скобку на третью, а вторую на четвёртую:

(x^2+5x+6)*(x^2+7x+6)> 96*x^2

поделим обе части неравенства на x^2 , причём каждую из полученных скобок поделим почленно на x. поскольку x^2> 0 , то неравенство не меняет знак.

имеем:

(x+ 5+ 6/x)*(x + 7 +6/x)> 96

сделаем замену : x+6+6/x=t

(t-1)*(t+1)> 96

t^2-1> 96

t^2> 97

необходимо доказать , что t^2> 97

поскольку x> 0 , то можно применить неравенство о среднем арифметическом и среднем :

x+ 6/x > = 2*sqrt(x *6/x)=2*sqrt(6)

откуда:

t= x+6 +6/x> = 6+2sqrt(6)

t^2> =(6+ 2sqrt(6) )^2=36+24+24*sqrt(6)

=60+24*sqrt(6)> 60+24*sqrt(4)=

=60+48=108> 97

таким образом мы показали что:

t^2> 97, а значит мы доказали , что неравенство:

(x+3)*(x+6)*(x+2)*(x+1)> 96*x^2 выполняется при любом x.

что и требовалось доказать.

самое оптимальное решение. воспользуемся неравенством коши:

в нашем случае, x > 0, значит

умножив все четыре неравенства, мы получим