Решите в простых числах:

подробное решение, .​

любое простое число, кроме 2, является нечётным.

если z = 2, то либо x = 1, либо y = 0. оба из этих чисел не являются простыми. значит, z ≠ 2.

если z — число нечётное, то — чётное. учитывая, что x и y — простые числа, x может быть равен только 2, иначе это будет нечётным числом.

попробуем поперебирать значения y:

2² + 1 = 5 — подходит,

2³ + 1 = 9 — не подходит,

2⁵ + 1 = 33 — не подходит,

2⁷ + 1 = 129 — не

можно заметить, что при нечётных y z делится на 3. всегда ли выполняется это условие?

множество нечётных чисел включает в себя множество простых чисел (за исключением 2). если , то и для простых чисел, кроме 2, это тоже справедливо.

докажем это методом индукции:

1. при k = 1 утверждение верно (см. перебор, второе равенство).

2. пусть — верно.

3.

значит, 2 в любой нечётной степени (даже 2¹, которое мы упустили из доказательства) при делении на 3 даёт остаток 2. отсюда справедливо выражение . значит, z при всех простых y, отличных от 2, делится на 3, то есть не является простым числом. отсюда получаем единственное найденное решение: x = 2, y = 2, z = 5.

ответ: (2; 2; 5)