Регистрация Спросить otvet5GPT
влада401
16.12.2021 01:27
Математика
Есть ответ 👍

Решить систему дифференциальных уравнений: y'(t) = y(t) + z(t) z'(t) = t + y(t) + z(t)

191
436
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

gatilovasofiya
gatilovasofiya
4,8(26 оценок)

y(t)=z'(t)-t-z(t)

продифференцируем второе уравнение по переменной t, получим

z''(t)=1+y'(t)+z'(t)~~~\rightarrow~~~ y'(t)=z''(t)-z'(t)-1

подставляем в первое уравнение:

z''(t)-z'(t)-1=z'(t)-z(t)-t+z( \\ z''-2z'=1-t

получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:

найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

z''-2z'=0

пусть z=e^{kt}, получим характеристическое уравнение:

k^2-2k=0\\ k(k-2)=0~~~\longleftrightarrow~~~ k_1=0; ~~~ k_2=2

общее решение однородного дифференциального уравнения

z^*=c_1e^{2t}+c_2

рассмотрим полином правой части f(t)=(1-t)e^{0t} здесь p_n(t)=1-t,~~ \alpha =0,~~ n=1. сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая, во внимая что n = 0, частное решение будем искать в виде:

z^{**}=t(at+b)=at^2+bt

z'=2at+b\\ z''=2a

подставляем в исходное диф. уравнение:

2a-2(2at+b)=1-t\\ \\ 2a-2b-4at=1-t

приравниваем коэффициенты при степени t

\displaystyle \left \{ {{2a-2b=1} \atop {-4a=-1}} \right. ~~~\rightarrow~~~\left \{ {{b=-\frac{1}{4}} \atop {a=\frac{1}{4}}} \right.

частное решение: z^{**}=\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t}{4}

общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

z=z^*+z^{**}=c_1e^{2t}+c_2+\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t}{4}

y=2c_1e^{2t}+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{4}-t-c_1e^{2t}-c_2-\dfrac{t^2}{4}+\dfrac{t}{4}=c_1e^{2t}-c_2-\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t}{4}-\dfrac{1}{4}

mirochkanervnya
mirochkanervnya
4,6(44 оценок)
  1010+         1100    1010-       1000        1010    x     10        0000+   10100

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS