Между двумя пунктами, расположенными на расстояния 100 км друг от друга, по реке курсирует катер, преодолевающий это расстояние за 4 ч, если плывет по течению, и за 10 ч - если против течения. определите скорость течения и скорость движения катера относительно воды.

дано:

км

ч

ч

найти:

решение. согласно закону сложения скоростей составим два уравнения:

решим систему сложением:

поменяем знаки во втором уравнении (домножим на -1) и сделаем такой же ход:

определим значение искомых величин:

км/ч

км/ч

ответ: 7,5 км/ч; 17,5 км/ч

2

sx  =  vxt.

отсюда координата тела тела  x  в любой момент времени  t:

x  –  x0  =  vxt

или

x  =  x0  +  vxt.

если начальная координата  x0  = 0, то  x  =  vxt.

таким образом, координату тела при равномерном движении в любой момент времени можно определить, если известны его начальная координата и проекция скорости движения на ось  x.

проекции скорости и перемещения могут быть как положительными, так и отрицательными. проекция скорости положительна, если направление движения совпадает с положительным направлением оси  x  (см. рис. 8,  а). в этом случае  x  >   x0. проекция скорости отрицательна, если тело движется против положительного направления оси  x  (рис. 8,  б). в этом случае  x  <   x0.

4.  зависимость координаты тела от времени можно представить на графике.

предположим, что тело движется из начала координат вдоль положительного направления оси  x  с постоянной скоростью. проекция скорости тела на эту ось равна 2 м/с. уравнение движения в этом случае имеет вид:   x  = 2t  (м). зависимость координаты тела от времени — линейная. графиком такой зависимости является прямая, проходящая через начало координат (рис. 9).

если в начальный момент времени координата тела  x0  = 6 м,  а проекция его скорости  vx  = 2 м/с, то уравнение движения имеет вид:   x  = 6 + 2t  (м). это тоже линейная зависимость координаты тела от времени, и ее графиком является прямая, проходящая через точку, для которой при  t  = 0  x  = 6 м (рис. 10).

в том случае, если проекция скорости отрицательна, уравнение движения имеет вид:   x  = 6 – 2t  (м). график зависимости координаты тела от времени представлен на рисунке 11.

таким образом, движение тела может быть описано аналитически, т. е. с уравнения движения, и графически, т. е. с  графика зависимости координаты тела от времени.

5.  пример решения

при решении необходимо выполнять следующую последовательность действий.

1.  кратко записать условие .

2.  проанализировать ситуацию, описанную в условии :

—  выяснить, можно ли принять движущиеся тела за материальные точки;

—  сделатьрисунок, изобразив на нем векторы скорости;

—  выбрать систему отсчета — тело отсчета, направления координатных осей, начало отсчета координат, начало отсчета времени; записать начальные условия (значения координат в начальный момент времени) для каждого тела.

3.  записать уравнение движения в векторной форме и для проекций на координатные оси.

4.  записать уравнение движения для каждого тела с учетом начальных условий и знаков проекций скорости.

5.  решить в общем виде.

6.  подставить в формулу значения величин и выполнить вычисления.

7.  проанализировать ответ.

два автомобиля движутся навстречу друг другу равномерно и прямолинейно: один  — со скоростью 10 м/с, другой — со скоростью 20 м/с. определите время и координату места встречи автомобилей, если в начальный момент времени расстояние между ними равно 120 м.

можно решить двумя способами: аналитически и графически.

1-й  способ.  свяжем систему отсчета с землей, ось  ox  направим в сторону движения первого автомобиля, за начало отсчета координаты выберем точку  o  — положение первого автомобиля в начальный момент времени (рис. 12).

в начальный момент времени координаты каждого тела равны:   x01  = 0;   x02  =  l.

запишем уравнение движения:   x  =  x0  +  vxt.

уравнения движения для каждого тела с учетом начальных условий имеют вид:

x1  =  v1t;   x2  =  l  –  v2t.

в момент встречи тел  x1  =  x2, следовательно:   v1t  =  l  –  v2t.

отсюда  t  = ;

t  =  = 4 с.

подставив значение времени в уравнение для координаты первого автомобиля, получим значение координаты места встречи автомобилей:   x  = 10 •4 с = 40 м.

2-й  способ.  построим графики зависимости координаты автомобилей от времени, соответствующие уравнениям  x1  = 10t  (м)  и  x2  = 120 – 20t  (м) (рис. 13). точка  a  пересечения графиков соответствует времени и координате места встречи автомобилей:   t  = 4  с,  x  = 40  м.

ответ:   t  = 4  с,  x  = 40  м.