30 ! 1.найдите промежутки возрастания и убывания функции у = -3х2 + 6х + 3. 2. найдите экстремумы функции у = х3 - 2х2. 4. составьте уравнение касательной к графику функции у = х3 - 6х2 в точке с абсциссой xo = 1 5. найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х - х3

1) дана квадратичная функция   у = -3х² + 6х + 3. ветви вниз (а = -3).

находим вершину хо = -в/2а = -6*(2*(-3)) = 1.

тогда ответ:

функция возрастает на промежутке (-∞; 1), убывает- (1; ∞).

2) экстремумы функции у = х³ - 2х² находим по производной, равной нулю: y' = 3х² - 4x = 0.   x(3x - 4) = 0. имеем 2 критических точки: х = 0 и х = 4/3 и 3 промежутка монотонности: (-∞; 0), (0; (4/3) и ((4/3); +∞).

находим знак производной на каждом из промежутков.

х =   -1       0       1       4/3       2

y' = 7 0 -1   0     4 .

видим, что при прохождении через точку х = (4/3) производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через точку х = 0 – меняет знак с плюса на минус, соответственно это будет максимум.

4) дана функция у = х³ - 6х², её производная равна y' = 3x² - 12x.

в точке х = 1 производная равна y'(1) = 3 - 12 = -9.

функция в точке х = 1 равна х(1) = 1 - 6 = -5.

уравнение касательной задается уравнением:

y = f ’(x0) • (x − x0) + f (x0) ,

где f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.   подставим значения:

у = -9(х - 1) + (-5) = -9х + 9 - 5 = -9х + 4.

5) дана функция у = х - х³. её производная равна:

y' = -3x² + 1. приравняем производную нулю: -3x² + 1 = 0.

х = +-√(1/3) ≈ +-0,57735.

находим знак производной на каждом из промежутков.

x =     -1     -√(1/3)         0         √(1/3)           1

y' = -2       0           1             0           -11

максимум в точке х = √(1/3) равен 2/(3√3),

минимум в точке х = -√(1/3) равен -2/(3√3).