Алгебра: Найти пределы числовых последовательностей

Избавимся для удобства от отрицательных показателей степеней:Отметим ОДЗ. Оно сводится к двум условиям:Представим тангенс и котангенс в виде отношений:В левой части находим сумму двух дробей, а в правой части применяем формулу синуса двойного угла:В числителе первой дроби применяем формулу суммы кубов, знаменатель правой части возводим в куб:Числитель первой дроби упрощается благодаря тригонометрической единице, дробь в правой части сокращается:В числителе первой дроби выполняем искусственные преобразования...

missgur04

09.04.2020 04:47

Алгебра

Есть ответ 👍

Найти пределы числовых последовательностей

213

482

Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

Yulia2107

Алгебра

4,4(28 оценок)

$\mathrm{tg}^32x+\mathrm{ctg}^32x+6\sin^{-1}2x=8\sin^{-3}4x$

Избавимся для удобства от отрицательных показателей степеней:

$\mathrm{tg}^32x+\mathrm{ctg}^32x+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{\sin^34x}$

Отметим ОДЗ. Оно сводится к двум условиям:

$\boxed{\sin2x\neq 0;\ \cos2x\neq 0}$

Представим тангенс и котангенс в виде отношений:

$\dfrac{\sin^32x}{\cos^32x}+\dfrac{\cos^32x}{\sin^32x}+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{(\sin4x)^3}$

В левой части находим сумму двух дробей, а в правой части применяем формулу синуса двойного угла:

$\dfrac{\sin^62x+\cos^62x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{(2\sin2x\cos2x)^3}$

В числителе первой дроби применяем формулу суммы кубов, знаменатель правой части возводим в куб:

$\dfrac{(\sin^22x+\cos^22x)(\sin^42x+\cos^42x-\sin^2x\cos^22x)}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{8\sin^32x\cos^32x}$

Числитель первой дроби упрощается благодаря тригонометрической единице, дробь в правой части сокращается:

$\dfrac{\sin^42x+\cos^42x-\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}$

В числителе первой дроби выполняем искусственные преобразования для выделения полного квадрата:

$\dfrac{\sin^42x+\cos^42x+2\sin^2x\cos^22x-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}$

И выделяем полный квадрат:

$\dfrac{(\sin^22x+\cos^22x)^2-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}$

Вновь получена тригонометрическая единица:

$\dfrac{1-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}$

Переносим все слагаемые в левую часть и выполняем упрощения:

$\dfrac{1-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}-\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}=0$

$\dfrac{1-3\sin^2x\cos^22x-1}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=0$

$-\dfrac{3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=0$

$-\dfrac{3}{\sin2x\cos2x}+\dfrac{6}{\sin2x}=0$

$-\dfrac{3}{\cos2x}+6=0$

$\dfrac{3}{\cos2x}=6$

$\cos2x=\dfrac{1}{2}$

$2x=\pm\dfrac{\pi }{3}+2\pi n$

Заметим, что ни синус ни косинус угла не обращается в ноль. Следовательно, ОДЗ выполняется.

Записываем ответ:

$\boxed{x=\pm\dfrac{\pi }{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.