5способов решения квадратных уравнений

ответ:

*1. способ: разложение левой части уравнения на множители*

решим уравнение

х2 + 10х - 24 = 0.

разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

*2. способ: метод выделения полного квадрата*

решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.

выделим в левой части полный квадрат.

для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

в полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. по этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

*3. способ: решение квадратных уравнений по формуле*

умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

*4. способ: решение уравнений с использованием теоремы виета*

как известно, квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

его корни удовлетворяют теореме виета, которая при а =1 имеет вид

x1 +x2 = - p

отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

объяснение:

*примеры к 3 способу*

а) решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, d = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,

d > 0, два разных корня;

таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 - 4ac > 0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, d = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,

d = 0, один корень;

итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, d = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , d < 0.

данное уравнение корней не имеет.

итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0,

уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе и неполного. словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент

*примеру к 4 способу*

а) если сводный член q уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

например,

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) если свободный член q уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

например,

x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

мешок с зерном        мелкие                   возможна инфляция  долго считать и тяжело таскать

шкура животного      удобна при хранении и переносе                            слишком дорого для хозяйства

сущеная рыба                не слишком затратно                                                                но вскоре случиться инфляция

лощадь легко в                                 трудно делить мало кто мог себе позволить