Втрапеции авсd диагональ ас перпендикулярна боковой стороне сd и является биссектрисой угла а.найдите длину ав, если периметр трапеции равен 35см, угол d равен 60 градусов

в трехугольнике асд угол с=90 градусов, угол д=60, соответственно угол а=30 градусов. так как ас биссектриса угла а трапеции, то угол сад=углу вас=30 градусов. угол вад=60 градусов = углу д. трапеция равнобдренная ав=сд. 2*сд=ад так как катет сд лежит против угла 30 градусов. сумма углов трапеции равна 360 градусов. угол в=углу с=(360-120)/2=120 градусов. в трехугольнике авс угол с = 120-90=30 градусов. в этом же трехугольнике угол с=углу а - он равнобедренный. ав=вс. соответственно, в трапеции авсд ав=вс=сд. периметр равен 3*ав+ад. так как 2*ав=ад, то периметр равен 5*ав=35 см. ав=7 см.

треугольник асд-прямоугольный, значит если угол д=60 градусов. то угол сад=30град. пусть сторона сд=х(см). тогда по свойству угла в 30 градусов, гипотенуза ад в 2 раза больше катета сд, ад=2х(см). ас-биссектриса угла а, эначит угол а=60(град), следовательно трапеция равнобедренная и сторона ав то же равна х(см). 

проведем в трапеции две высоты вн и ск, треугольники авн и clr - равны (по гипотенузе и катету), значит ан=кд. рассмотрим треугольник ксд, в нем угол ксд=30 градусов, значит по св-ву угла в 30 градусов кд=1/2сд=0,5х, значит ан=кд=0,5х(см), имеем, что вс=нк=2х-(0,5х+0,5х)=х(см), значит периметр трапеции авсд равен х+х+х+2х=35,х=7.

значит сд=ав=7см 

ответ: ав=7см

Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике равна полусумме катетов. пусть катеты равны a и b, тогда r + r = (a + b) / 2, но с другой стороны по условию r + r = a, значит    (a + b) / 2 = a;         a + b = 2a;         a = b это означает, что катеты равны, значит это прямоугольный равнобедренный треугольник, а значит острые углы по 45°.