Регистрация Спросить otvet5GPT
DashkaaMilashka
07.05.2020 23:56
Математика
Есть ответ 👍

98 решить систему: cosx+cosy=1 sinxsiny=3/4

184
296
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Vika20032412
Vika20032412
4,4(32 оценок)

решение 1

преобразуем сумму в произведение по формуле

\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x-y}2\cos\dfrac{x+y}2

попробуем получить что-нибудь похожее в правой части первого уравнения. пригодятся формулы преобразования суммы косинусов в произведение и формула для косинуса двойного угла:

\sin x\sin y=\dfrac12\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)=\dfrac12\left(\left(2\cos^2\dfrac{x-y}2-1\right)-.-\left(2\cos^2\dfrac{x+y}2-1\right)\right)=\cos^2\dfrac{x-y}2-\cos^2\dfrac{x+y}2

таким образом, если обозначить косинус полусуммы за s, а косинус полуразности за a, получится система

\begin{cases}2as=1\\a^2-s^2=\dfrac34\end{cases}

из первого уравнения системы a = 1/(2s), подставляем во второе уравнение и после преобразований получаем биквадратное уравнение:

1-4s^4=3s^2\\4(s^2)^2+3s^2-1=0

по теореме виета угадываем, что s^2=-1 или s^2=1/4; первый вариант не даёт вещественных решений, из второго следует s=\pm1/2, тогда a=\pm1. возвращаемся обратно к x и y:

1) s = 1/2, a = 1:

\begin{cases}\cos\dfrac{x+y}2=\dfrac {x-y}2=1\end{cases}\leftrightarrow\begin{cases}x+y=\pm\dfrac{2\pi}3+4\pi n', n'\in\mathbb z\\x-y=4\pi n'', n''\in\mathbb z\end{cases}{cases}x=\pm\dfrac{\pi}3+2\pi (n'+n''=\pm\dfrac{\pi}3+2\pi (n'-n'')\end{cases}, n', n''\in\mathbb z

2) s = -1/2, a = -1:

\begin{cases}\cos\dfrac{x+y}2=-\dfrac {x-y}2=-1\end{cases}\leftrightarrow\begin{cases}x+y=2\pi\pm\dfrac{2\pi}3+4\pi m', m'\in\mathbb z\\x-y=2\pi+4\pi m'', m''\in\mathbb z\end{cases}{cases}x=2\pi\pm\dfrac{\pi}3+2\pi (m'+m''=\pm\dfrac{\pi}3+2\pi (m'-m'')\end{cases}, m', m''\in\mathbb z

можно переписать все полученные решения в виде

\left(\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\pm\dfrac\pi3+2\pi m\right), где n,m\in\mathbb z.

решение 2

возведём второе уравнение в квадрат, применим основное тригонометрическое тождество:

(1-\cos^2x)(1-\cos^2y)=\dfrac9{16}-\cos x)(1+\cos x)(1-\cos y)(1+\cos y)=\dfrac9{16}

из первого уравнения сумма косинусов 1, так что 1 - один косинус = другой косинус.

\cos x\cos y (1+\cos x)(1+\cos y)=\dfrac{9}{16} x\cos y(1+\cos x+\cos y+\cos x\cos y)=\dfrac9{16} x\cos y(2+\cos x\cos y)=\dfrac9{16}

получилось квадратное уравнение на cos x cos y, его корни -9/4 и 1/4. произведение косинусов по модулю не больше 1, так что единственный вариант cos x cos y = 1/4. совместно с cos x + cos y = 1 получаем, что соs x = cos y = 1/2, откуда x=\pm\pi/3+2\pi n, y=\pm \pi/3+2\pi m, n,m\in \mathbb z, знаки + и - выбираются независимо.

в этом решении был неравносильный переход при возведении в квадрат, могли появиться посторонние решения. подставляя в исходную систему, получаем, что \sin x\sin y=3/4, только если в обоих значениях выбрать одинаковые знаки.

ответ

\left(\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\pm\dfrac\pi3+2\pi m\right), где n,m\in\mathbb z

gukalovaekateri
gukalovaekateri
4,8(58 оценок)

Пошаговое объяснение:

Периметр = 28см обозначим третью сторону Х. тогда Х= 28 - 10 - в см

Х = 18-в. Если в=5см то треья сторона равна Х=18-5=13см

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS