Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у=х^3-6x^2+4

найдем производную данной функции, у штрих равен

3х²-12х+0

найдем теперь производную от первой производной, т.е. вторую производную,   она равна6х-12

приравняем к нулю вторую производную 6х-12=0

х=2

точка 2 разбивает числовую ось на два интервала, при переходе через которую вторая производная меняет знак с минуса на плюс, значит, х=2 точка перегиба, и при х∈(-∞; 2) функции выпукла вверх, а при х∈(2; +∞) график функции выпуклый вниз

пошаговое объяснение:

дано: y(x) = x³ -6*x² +4.

исследование.

1. область определения d(y) ∈ r,   х∈(-∞; +∞) - непрерывная , гладкая.

2. вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. пересечение с осью oх.  

применим тригонометрическую формулу виета.

разложим многочлен на множители. y=(x+0,77)*(x-0,88)*(x-5,88)

нули функции: х₁ =-0,77, х₂ =0,88,   х₃ =5,88

(без комментариев, без расчёта).

6. интервалы знакопостоянства.

отрицательная - y(x)< 0 x∈(-∞; -0,77]u[0,88; 5,88]  

положительная -y(x)> 0 x∈[-0,77; 0,88]u[5,88; +∞)

7. пересечение с осью oy. y(0) =   4

8. исследование на чётность.  

в полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

y(-x) ≠ y(x). y(-x) ≠ -y(x),   функция ни чётная, ни нечётная.  

9. первая производная.     y'(x) = 3*x² -12*x = 3*x*(x-4) = 0

корни y'(x)=0.     х₄ =0     х₅=4

где производная отрицательна   (между корнями), там функция убывает.

10. локальные экстремумы.  

максимум - ymax(x₄=   0) =4.   минимум - ymin(x₅ =   4) =-28

11. интервалы возрастания и убывания.  

возрастает х∈(-∞; 0; ]u[4; +∞) , убывает - х∈[0; 4]   (между корнями).

важно! функция непрерывная - скобки квадратные.

12. вторая производная - y"(x) = 6* x -12 = 6*(х-2) = 0

корень второй производной - точка перегиба х₆=2

13. выпуклая “горка» х∈(-∞; х₆ = 2]   - производная y"(x)< 0 - отрицательная)

вогнутая – «ложка» х∈[х₆ = 2; +∞).

14. график в приложении.   дополнительно схема/шаблон для анализа функции.