Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у=х^3-6x^2+4
Ответы на вопрос:
найдем производную данной функции, у штрих равен
3х²-12х+0
найдем теперь производную от первой производной, т.е. вторую производную, она равна6х-12
приравняем к нулю вторую производную 6х-12=0
х=2
точка 2 разбивает числовую ось на два интервала, при переходе через которую вторая производная меняет знак с минуса на плюс, значит, х=2 точка перегиба, и при х∈(-∞; 2) функции выпукла вверх, а при х∈(2; +∞) график функции выпуклый вниз
пошаговое объяснение:
дано: y(x) = x³ -6*x² +4.
исследование.
1. область определения d(y) ∈ r, х∈(-∞; +∞) - непрерывная , гладкая.
2. вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.
3. наклонная асимптота - y = k*x+b.
k = lim(+∞) y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4. периода - нет - не тригонометрическая функция.
5. пересечение с осью oх.
применим тригонометрическую формулу виета.
разложим многочлен на множители. y=(x+0,77)*(x-0,88)*(x-5,88)
нули функции: х₁ =-0,77, х₂ =0,88, х₃ =5,88
(без комментариев, без расчёта).
6. интервалы знакопостоянства.
отрицательная - y(x)< 0 x∈(-∞; -0,77]u[0,88; 5,88]
положительная -y(x)> 0 x∈[-0,77; 0,88]u[5,88; +∞)
7. пересечение с осью oy. y(0) = 4
8. исследование на чётность.
в полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
y(-x) ≠ y(x). y(-x) ≠ -y(x), функция ни чётная, ни нечётная.
9. первая производная. y'(x) = 3*x² -12*x = 3*x*(x-4) = 0
корни y'(x)=0. х₄ =0 х₅=4
где производная отрицательна (между корнями), там функция убывает.
10. локальные экстремумы.
максимум - ymax(x₄= 0) =4. минимум - ymin(x₅ = 4) =-28
11. интервалы возрастания и убывания.
возрастает х∈(-∞; 0; ]u[4; +∞) , убывает - х∈[0; 4] (между корнями).
важно! функция непрерывная - скобки квадратные.
12. вторая производная - y"(x) = 6* x -12 = 6*(х-2) = 0
корень второй производной - точка перегиба х₆=2
13. выпуклая “горка» х∈(-∞; х₆ = 2] - производная y"(x)< 0 - отрицательная)
вогнутая – «ложка» х∈[х₆ = 2; +∞).
14. график в приложении. дополнительно схема/шаблон для анализа функции.
Реши свою проблему, спроси otvet5GPT
-
Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос -
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах -
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно
Популярно: Математика
-
Narmahanova27.10.2022 07:23
-
zippik200625.01.2020 16:08
-
djekichan12301.04.2023 14:04
-
r8n73x999917.10.2020 21:11
-
kozakova1305.04.2021 06:07
-
олеся1411116.09.2022 12:31
-
raya32301.03.2023 03:24
-
Татьяна422222.04.2020 16:58
-
Neznayka32215.03.2021 21:22
-
liubovbalan18.01.2020 14:32
Есть вопросы?
-
Как otvet5GPT работает?
otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса. -
Сколько это стоит?
Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны. -
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?
Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое! -
В чем отличия от ChatGPT?
otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.