Вправильной пирамиде оавсд боковое ребро од = 12. оно наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов. найдите: a) площадь боковой поверхности пирамиды b) объем пирамиды c) угол между противоположными боковыми гранями d) угол между боковой гранью и плоскостью основания e) скалярное произведение векторов от и та где т основание высоты пирамиды, проведенной и о. f) радиус описанного около пирамиды шара

ответ:

в основании пирамиды квадрат авсd. мо– высота пирамиды. ( см. рис.) о– центр квадрата, точка пересечения диагоналей ас и bd.

в прямоугольном треугольнике мос, ∠ мсо =60°, значит∠смо=30°.

катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

поэтому ос=4; ас=2ос=8.

ас=bd=8 – диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны.

в точке пересечения делятся пополам. ос=оа=ов=od=4

по теореме пифагора из прямоугольного треугольника аоd:

ad²=ao²+od²=4²+4²=32;

ad=4√2

ав=вс=сd=ad=4√2.  

1) площадь боковой поверхности пирамиды

находим апофему мe из треугольника мeс.

de=ec=4√2/2=2√2; mc=8.

мe²=mc²–ec²=8²–(2√2)²=64–8=56.

me=2√14.

s(бок)=4•s(δ mdc)=4•dc•me/2=4•(4√2)•2√(14)/2=

=32√7.

2) объем пирамиды

из прямоугольного треугольника моc по теореме пифагора.

мо²=мc²–оc²=8²–4²=48.

mo=н=4√3.

v(пирамиды)=(1/3)s(осн.)•н=

=(1/3)•(4√2)²•(4√3)=(128√3)/3.

3) это угол образованный двумя апофемами боковых граней мe и мf и отрезком ef, соединяющим середины противоположных сторон квадрата и равным стороне квадрата.

по теореме косинусов:

ef²=me²+mf²–2•me•mf•cosα;

(4√2)²=(2√(14))²+(2√(14))²–2•2√(14)•2√(14)•сosα.

cosα=5/7.

4) скалярное произведение векторов (ma+mc)•me.

cумма вектров ма и мс – диагональ параллелограмма,построенного на этих векторах и выходящая из точки м. половина этой диагонали – вектор мо

скалярное произведение векторов 2mo и mе равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

угол между ними – это угол оме.

из прямоугольного треугольника оме косинус угла оме равен отношению прилежащего катета мo к гипотенузе ме.

сos∠ome=mo/me=4√3/2√14=2√3/√14.

скалярное произведение указанных векторов равно

2•(4√3)•(2√14)•(2√3/√14)=96

5) площадь описанной около пирамиды сферы

найдем радиус сферы. это радиус окружности, описанной около треугольника амс.

треугольник амс – равносторонний, ма=мс=ас=8.

по формуле

r=abc/4s=(8•8•8)/(4•(8•8•√3/4))=8√3/3

s=4πr²=4π•(8/√3)²=256π/3.

6) угол между ам и плоскостью dmc

это угол между прямой ам и ее проекцией на плоскость dmc.

из точки а проводим перпендикуляр к плоскости dmc.

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

этот перпендикуляр есть ad .

ad⊥сd ( стороны квадрата перпендикулярны)

ad⊥мк ( мк⊥сd).

значит md – проекция am.

угол amd – между прямой am и плоскостью mdc.

по теореме косинусов из треугольника amd:

ad²=am²+md²–2•am•md•cosβ

(4√2)²=(8)²+(8)²–2•8•8•сosβ.

сosβ=3/4.

пошаговое объяснение:

обьяснения приложенны