10 - 11 классыв прямоугольном треугольнике с катетами 36 и 48 на гипотенузе взята точка. из нее проведены прямые, параллельные катетам. получится прямоугольник, вписанный в данный треугольник. где на гипотенузе надо взять точку, чтобы площадь такого прямоугольника была наибольшей?

відповідь:

пусть авс- прямоугольный треугольник, катеты ав = 36 см, ас = 48 см, вс - гипотенуза.

пусть d - точка на гипотенузе вс. de - отрезок, параллельный катету ав (точка е на стороне ас) , df - отрезок, параллельный катету ас (точка f на стороне ав) .

нужно найти точку d, чтобы s - площадь прямоугольника afde была наибольшей.

обозначим ес через х, de через y.

треугольники авс и edc подобны, y/x = de/ec = ab/ac = 36/48 = 3/4, то есть y = (3/4)*x.

s = (48 - x)*y = (48 - x)*(3/4)*x = (3/4)*(48*x - x^2) = (3/4)*(24^2 - 24^2 + 2*24*x - x^2) = (3/4)*(24^2 - (24 - x)^2).

максимальное значение площадь прямоугольника достигает при х = 24 см, то есть ес - половина катета ас.

из подобия треугольников авс и edc следует, что отрезок dc - половина сгипотенузы вс.

точка d, при которой площадь прямоугольника afde наибольшая, середина гиптенузы вс.

пояснення:

х-120=2у

х-180=у

решаем: у=х-180 заменяем у в первом уровнении на это выражение х-180 следует х-120=2(х-180) дальше х-120=2х-360 (2*180) дальше преносим 2х-х=360-120 значит х=240. проверяем:

240-120=120 осталось у пети

240-180=60 осталось у васи

120/2=60 (в два раза)