1. дослідити функцію двох змінних на экстремум: z=6x²+y²+2xy-x+4. 2. знайти частинні похідні першого, другого порядку, мішані похідні: z=3x⁴y-4x²y+2y⁴.

ответ:

алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум

функция z = f(x,y) имеет максимум в точке m0(x0; y0), если f(x0; y0) > f(x; y) для всех точек (x; y), достаточно близких к точке (x0; y0) и отличных от неё. функция z = f(x,y) имеет минимум в точке m0(x0; y0), если f(x0; y0) < f(x; y) для всех точек (x; y), достаточно близких к точке (x0; y0) и отличных от неё. максимум и минимум функции называются экстремумами функции.  

исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.  

1. находят частные производные dz/dx и dz/dy.  

2. решают систему уравнений:

и таким образом находят критические точки функции.  

3. находят частные производные второго порядка:

4. вычисляют значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 критических точках m(x0; y0).

5. делаю вывод о наличии экстремумов:  

а) если ac – b2 > 0 и a < 0 , то в точке m имеется максимум;  

б) если ac – b2 > 0 и a > 0 , то в точке m имеется минимум;  

в) если ac – b2 < 0, то экстремума нет;  

г) если ac – b2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;

пример №1. найти экстремумы функции f(x,y)=x3+xy2+x2+y2 и определить по критерию сильвестра их тип.  

решение.  

1. найдем первые частные производные.  

2. решим систему уравнений.  

3x2+2x+y2=0  

2xy+2y=0  

получим:  

а) из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:  

x = -1  

y2+1=0  

данная система уравнений не имеет решения.  

б) из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:  

или  

или  

откуда x1 = -2/3; x2 = 0; x3 = -2/3; x4 = 0  

данные значения x подставляем в выражение для y. получаем: y1 = 0; y2 = 0; y3 = 0; y4 = 0  

количество критических точек равно 2: m1(-2/3; 0), m2(0; 0)  

3. найдем частные производные второго порядка.  

4. вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках m(x0; y0).  

вычисляем значения для точки m1(-2/3; 0)  

ac - b2 = -4/3 < 0, то экстремума нет.  

вычисляем значения для точки m2(0; 0)  

ac - b2 = 4 > 0 и a > 0 , то в точке m2(0; 0) имеется минимум z(0; 0) = 0  

вывод: в точке m2(0; 0) имеется минимум z(0; 0) = 0

пример №2. исследовать функцию на экстремум классическим методом: z=8x2+2xy-5x+6.

пошаговое объяснение:

2) 2*(53-19)=2*34=68

4) (251+649): 75=900: 75=12