С7 и 8, 9 по возможности. буду . 10 класс

1.если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.  пусть abcd – данный параллелограмм, o – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма.    aod = cob по первому признаку равенства треугольников (od = ob, ao = oc по условию теоремы, ∠ aod = ∠ cob, как вертикальные углы). следовательно,   obc =   oda. а они являются внутренними накрест лежащими для прямых ad и bc и секущей bd. по признаку параллельности прямых прямые ad и bc параллельны. так же доказываем, что ab и dc тоже параллельны. по определению данный четырехугольник параллелограмм. теорема доказана. 

2.если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.  пусть abcd – данный четырехугольник. ad параллельно bc и ad = bc.  тогда δ adb = δ cbd по первому признаку равенства треугольников (adb = cbd, как внутренние накрест лежащие между прямыми ad и bc и секущей db, ad=bc по условию, db – общая).  следовательно, ∠ abd = ∠ cdb, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых ab и cd и секущей db. по теореме признаке параллельности прямых ab и cd параллельны. значит, abcd – параллелограмм. теорема доказана. 

3.если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.    пусть дан четырехугольник abcd.   dab = bcd и abc = cda.  проведем диагональ db. сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников abd и bcd. так как сумма углов в треугольнике равна 180 º,    dab +   bcd +   abc +   cda.= 360 . так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то dab + abc = 180 º и   bcd +   cda = 180 º.  углы bcd и cda являются внутренними односторонними для прямых ad и вс и секущей dc, их сумма равна 180 , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые ad и вс параллельны. так же доказывается, что ab || dc. таким образом, четырехугольник abcd – параллелограмм по определению. теорема доказана.