По контуру квадратной трассы по часовой стрелке едут велосипед и две машины, скорости которых постоянны и различны, при этом велосипед медленнее машин. найдите скорость велосипеда (в км/ч), если скорости машин равны 55 км/ч и 165 км/ч, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата.

пусть сторона квадрата равна a; в начальный момент времени все находятся в одной вершине квадрата.

заметим, что скорость второй машины ровно в три раза превосходит скорость первой. тогда первый обгон между двумя машинами случится тогда, когда первая проедет 2a (вторая проедет 3×2a=6a); поэтому все обгоны между машинами будут в вершинах.

пусть скорость велосипеда равна v; (i); аналогично

(ii); (*); также (**); переставляя элементы в (i) получим равносильное утверждение: ;

рассмотрим   числа n и n+4: ; рассмотрим все нечетные n; тогда n и n+4 взаимно просты, а значит ; получаем числа n∈{1,7,51}; рассмотрим числа n такие, что

; тогда ; получаем числа n∈{6,18,106}; осталось рассмотреть числа n, такие, что

; отсюда   ;

тогда n∈{16,40,216}; всего: n∈{1,6,7,16,18,40,51,106,216};

;

условию (ii) удовлетворяет только число 33;

ответ: 33 км/ч