Sin2,5альфа умножить cos1,5альфа+sin1,5альфаумножить cos2,5альфа+cos(пи/2+4альфа)

134

498

Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

MichellDany04

Математика

4,8(58 оценок)

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Доказательство 1 (тригонометрическое):

{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }},

где {\displaystyle \ \gamma } — угол треугольника, противолежащий стороне {\displaystyle c}. По теореме косинусов:

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}

Отсюда:

{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}

Значит,

{\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}{\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}{\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}.

Замечая, что {\displaystyle a+b+c=2p}, {\displaystyle a+b-c=2p-2c}, {\displaystyle a+c-b=2p-2b}, {\displaystyle c-a+b=2p-2a}, получаем:

{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}

Таким образом,

{\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

ч.т.д.

Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой h, разделяющей основание c на d и (c − d).

По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a2 = h2 + (c − d)2 и b2 = h2 + d2 — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a2 − b2 = c2 − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}

Для высоты h у нас было равенство h2 = b2 − d2, в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:

{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\\end{aligned}}}

Замечая, что {\displaystyle b+c-a=2p-2a}, {\displaystyle a+b+c=2p}, {\displaystyle a+b-c=2p-2c}, {\displaystyle a-b+c=2p-2b}, получаем:

{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}

Используя основное равенство для площади треугольника {\displaystyle S={\frac {ch}{2}}} и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:

{\displaystyle {\begin{aligned}S={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}}

ч.т.д.

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.