Диагональ равнобедренной трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 10 см и 8 см. найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно боковой стороне трапеции.

    пусть в трапеции авсd (bc||ad) диагональ пересекает высоту вн в точке о, во=10 см, он=8 см. примем вс=ab=cd=а, аd=b.

    диагональ ас и высота вс при пересечении образуют с частью оснований прямоугольные треугольники,   подобные по равным острым углам (при о и накрестлежащим вса=сad). коэффициент подобия k=он: ов=8: 10=0,8. поэтому   ан=0,8а.  

  из ∆ ван по т.пифагора ав²-ан²=вн²⇒   а²-0,64а²=0,36а²⇒а=30 см. ⇒   ан=0,8•30=24 см

  в равнобедренной трапеции высота из тупого угла делит основание, к которому проведена, на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - их полусумме. ⇒

    ан=(b-a)/2, hd=(b+a)/2. из найденного выше (b-a): 2=24,⇒ b-30=48 ⇒b=48+30=78.

площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. высота вн=во+он=18 см,   полусумма оснований (a+b): 2=(30+78): 2=54 см. s(abcd)=18•54=972 см²

пусть авсд - данная трапеция. вс║ад, диагональ ас пересекается с высотой трапеции вт в точке о, вс=ав=сд=х, проведем еще одну высоту сf=fт=х, fд=ат=у, во=10, то=8, треуг. сfа и ота подобны по двум углам, по прямому и общему углу а, составим пропорцию, сf/от=fа/та, или у/8=(х+у)/18, (18-8)*у=8х, откуда х=0, 8у, 18²+у²=х², 18²=х²-0,64х², 0,36х²=18², откуда модуль икс равен 30, т.к. это сторона, то положит. х=30, тогда у=0,8*30=24, а площадь равна

((2х+2у)*18/2)=(30+24)*18=972/см²/

ответ 972 см²